சதுர முக்கோண எண்

k -ஆம் சதுர முக்கோண எண், ${\displaystyle N_{k}\,}$ என்க. இதற்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே ${\displaystyle s_{k}\,}$ , ${\displaystyle t_{k}\,}$ எனில்:

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.\,}$

${\displaystyle N_{k}\,}$ , ${\displaystyle s_{k}\,}$ , ${\displaystyle t_{k}\,}$ தொடர் வரிசைகள் முறையே, OEIS தொடர் வரிசைகளான A001110, A001109, மற்றும் A001108 ஆகும்.

சதுர முக்கோண எண்கள் காண 1778 -ல் ஆய்லர் உருவாக்கிய வாய்ப்பாடு:[1][2]^:12–13

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.\,}$

இவ்வாய்ப்பட்டையே வேறுவிதமாக மாற்றியமைக்கக் கிடைப்பது:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}$

இதற்குரிய ${\displaystyle s_{k}\,}$ மற்றும் ${\displaystyle t_{k}\,}$ காணும் வாய்ப்பாடுகள்:[2]^:13

${\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}$

சதுர முக்கோண எண்களைக் காணும் முறையானது பெல்லின் சமன்பாடாகப் (Pell's equation) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது:[3]

ஒரு முக்கோண எண்ணின் வடிவம்:

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}.}$

இந்த எண் சதுர எண்ணாகவும் இருந்தால்

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$ என்றபடி ஒரு ${\displaystyle s,}$ இருக்க வேண்டும்.

இதை சற்றே மாற்றியமைக்க:

${\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle x=(2t+1)}$ ; ${\displaystyle y=2s,}$ எனப் பிரதியிட:

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$

இச்சமன்பாடு ஒரு பெல்லின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு பெல் எண்களான P_k மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

ஃ ${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

சதுர முக்கோண எண்கள், அவற்றுக்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கான மீள்வரு தொடர்பு:[5]^:(12)[1][2]^:13

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,\,}$ ${\displaystyle N_{0}=0\,}$ மற்றும் ${\displaystyle N_{1}=1.\,}$

${\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},\,}$ ${\displaystyle N_{0}=1\,}$ மற்றும் ${\displaystyle N_{1}=36.\,}$

${\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},\,}$ ${\displaystyle s_{0}=0\,}$ மற்றும் ${\displaystyle s_{1}=1;\,}$

${\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,\,}$ ${\displaystyle t_{0}=0\,}$ மற்றும் ${\displaystyle t_{1}=1.\,}$

சதுர முக்கோண எண்கள் எண்ணற்றவை என்பதற்கான நிறுவலை எ. வி. சில்வெஸ்டர் தந்துள்ளார்:[6] n(n+1)/2 என்ற முக்கோண எண் ஒரு வர்க்கம் எனில் மிகப்பெரிய முக்கோண எண்ணும் அவ்வாறே வர்க்கமாக அமையும்:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.}$

ஒரு சதுர முக்கோண எண்ணைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:[7]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots .}$

k -ன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக t_k / s_k விகிதம் ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421}$ -யும் தொடர்ந்து அமையும் இரு சதுர முக்கோண எண்களின் விகிதம் ${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056}$ -யும் நெருங்கும்..

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1&\\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&1.41379&33.97061\\6&48\,024\,900&6\,930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}}$

• Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., "Square Triangular Number", MathWorld.