குழிவுச் சார்பு

ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f : X → R கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும்.

${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ என்பவை X இன் இரு புள்ளிகள்; ${\displaystyle t\in [0,1]}$ எனில்:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).}$

திட்டமாக குழிவுச் சார்பு

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,}$

${\displaystyle 0<t<1\,}$ , ${\displaystyle x_{1}\not =x_{2}}$ எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு (strictly concave) என வரையறுக்கப்படும்.

f:R→R என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் ஆட்களத்தின் x மற்றும் y இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு z க்கும் (z, f(z) ) புள்ளியானது (x, f(x) ) , (y, f(y) ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்கு மேற்புறத்தில் அமையும்.

ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது −f(x) குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது f(x) குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு f ′ அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் சாய்வு கொண்டிருக்கும்.

இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x), எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x) இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே f(x) குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல.

f வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்:

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$ [1]

C இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு, C இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள் x மற்றும் y க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்:

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

• ${\displaystyle f(x)=-x^{2},}$ மற்றும் ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும்.
• நேரியல் சார்பு ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ , குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது.
• ${\displaystyle [0,\pi ]}$ இடைவெளியில் ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ குழிவுச் சார்பு.
• ${\displaystyle \log |B|}$ சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு ${\displaystyle |B|}$ ஆனது எதிரிலா-உறுதியான அணி (nonnegative-definite matrix) B இன் அணிக்கோவை.[2]

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". in Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375. http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_Q000008.
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. பக். 779. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-470-18352-7.
• Hal Varian (1992). Microeconomic Analysis (Third ). W.W. Norton and Company.