உள்ளிடுகோப்பு

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

${\displaystyle \forall (x,y)\in X^{2},\,\left(x\neq y\,\Longrightarrow \,f(x)\neq f(y)\right)}$

உள்ளிடுகோப்பு.

முழுக்கோப்பு. இருவழிக்கோப்பும் கூட.

உள்ளிடுகோப்பல்ல.

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (injective map; injection; one-one map).

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (surjective map; surjection; onto map).

சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (into map) என்று மட்டும் சொல்லலாம்.

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

• ${\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x)=2x-1}$

இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால் ${\displaystyle 2x_{1}-1=2x_{2}-1\Rightarrow x_{1}=x_{2}.}$

• ${\displaystyle g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).

• ${\displaystyle h:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle h(x)=x^{2}}$

இது உள்ளிடுகோப்பு.

• அடுக்குச்சார்பு.${\displaystyle exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto e^{x}}$
• மடக்கைச்சார்பு${\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}$

இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.

சேர்வை உள்ளிடு கோப்பு.ஆனாலும் 2வது கோப்பு உள்ளிடு கோப்பல்ல

• எந்த ${\displaystyle X}$ க்கும் ${\displaystyle I:X\rightarrow X}$ என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
• ${\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$ என்ற சார்பு :ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான் சந்திக்கும்.
• ${\displaystyle g\circ f}$ என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், ${\displaystyle f}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் ${\displaystyle g}$ உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
• ${\displaystyle f,g}$ இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால் ${\displaystyle g\circ f}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
• ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பு, ${\displaystyle A\subset X}$ , ${\displaystyle B\subset X}$ என்றால்

${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$ , மற்றும்

${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$

• X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
• ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் எண்ணளவை X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.

உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால்,

${\displaystyle g\circ f}$ = ${\displaystyle I:X\rightarrow X}$ ஆக இருக்கும்படி

${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.

ஆனால் இந்த ${\displaystyle g}$ ஐ ${\displaystyle f}$ இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால் ${\displaystyle f\circ g}$ முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எனினும், ${\displaystyle f}$ இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது, ${\displaystyle Y}$ க்கு பதிலாக, ${\displaystyle f}$ இன் வீச்சை எடுத்துக்கொள்வதால் ${\displaystyle f\circ g}$ யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.

• முழுக்கோப்பு
• இருவழிக்கோப்பு