உட்குலம் (கணிதம்)
கணிதத்தில் ஈருறுப்புச் செயலி * ஐப் பொறுத்த ஒரு குலம் G இன் உட்கணம் H ஆனது அதே ஈருறுப்புச் செயலி * ஐப் பொறுத்து குலமாக அமையுமானால் G இன் உட்குலம் (subgroup) எனப்படும். இது குறியீட்டில் H ≤ G எனக் குறிக்கப்பட்டு, "H ஆனது G இன் உட்குலம்" என வாசிக்கப்படுகிறது.
G இன் தகு உட்கணமாக H (H ≠ G) இருந்தால், H ஒரு தகு உட்குலம் எனப்படும். எந்த ஒரு குலத்துக்கும் அதன் முற்றொருமை உறுப்பை மட்டும் கொண்ட கணம் {e} மிக எளியதொரு உட்குலமாகும் (trivial subgroup).
அடிப்படைப் பண்புகள்
- G குலத்தின் ஒரு உட்கணம் H அடைவுப் பண்பும் நேர்மாறு உறுப்புகளும் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, H , G இன் உட்குலமாகும்.
- குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பே உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
- உட்குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் நேர்மாறும், குலத்தில் அதன் நேர்மாறாகவே இருக்கும்.
- ஒரு குலத்தின் இரு உட்குலங்கள் A , B எனில் அவற்றின் வெட்டுக்கணமும் அதே குலத்தின் உட்குலமாக இருக்கும்.[1] ஆனால் அவை இரண்டில் ஏதாவது ஒன்று மற்றொன்றின் உட்கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் ஒன்றிப்பு கணம் உட்குலமாக இருக்கும்.
- G இன் ஒரு உட்கணம் S எனில், S ஐ அடக்கிய அனைத்து உட்குலங்களின் வெட்டுக்கணமானது, S ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உட்குலமாக அமையும். இந்த மிகச்சிறிய உட்குலம், S ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலம் எனப்படும். இதன் குறியீடு <S>.
- G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் (a) ஒரு சுழற் குலத்தைப் பிறப்பிக்கும் (<a>). Z/nZ உடன் சம அமைவியமுடையதாக <a> இருந்தால், an = e என அமையும் மிகச்சிறிய நேர் எண் n , a இன் வரிசை (கிரமம்) எனப்படும். Z உடன் சம அமைவியமுடையதாக <a> இருந்தால், a இன் வரிசை முடிவிலி ஆகும்..
- G குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு e எனில், {e} ஆனது G இன் மிக எளிய உட்குலம். G ஆனது G இன் மிகப் பெரிய உட்குலம்.
- லாக்ராஞ்சி தேற்றத்தின்படி, ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்; அதாவது மீதமின்றி வகுக்கும்.
- H இன் இடது இணைக்கணமும் வலது இணைக்கணமும் சமமாக இருந்தால், அதாவது:
- எனில் H இயல்நிலை உட்குலம் எனப்படும்.
- முடிவுறுகுலம் G இன் வரிசையை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகச்சிறிய பகா எண் p ஐக் குறியெண்ணாகக் கொண்டு ஒரு உட்குலம் G -க்கு இருந்தால் அது இயல்நிலை உட்குலமாகும்.
எடுத்துக்காட்டு: Z8 இன் உட்குலங்கள்
- இது ஈருறுப்புச் செயலி கூட்டல் மாடுலோ 8 ஐப் பொறுத்து ஒரு சுழற் குலமாகும். இதற்குரிய கெய்லி அட்டவணை:
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
இக்குலத்திற்கு மிகஎளியதல்லாத இரு உட்குலங்கள் J = {0,4} , H = {0,2,4,6} உள்ளன. இவற்றுள் H இன் உட்குலமாக J உள்ளது. மேலுள்ள கெய்லி அட்டவணையின் இடதுமேற் காற்பகுதி H இன் கெய்லி அட்டவணையாகும். G ஒரு சுழற் குலமாக இருப்பதால் H, J இரண்டும் சுழற் குலங்கள். பொதுவாக ஒரு சுழற் குலத்தின் உட்குலங்கள் எல்லாம் சுழற் குலங்களாகவே இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு: S4 இன் உட்குலங்கள்
ஒரு குலத்திற்கு அதன் கெய்லி அட்டவணையின் முதன்மை மூலைவிட்டத்திலுள்ள முற்றொருமை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையளவு உட்குலங்கள் இருக்கும்.
 நான்கு உறுப்புகளின் அனைத்து வரிசை மாற்றங்களைக் காட்டும் சமச்சீர் குலம் S4 |
 Hasse diagram of the lattice of subgroups of S4 |
12 உறுப்புகள்
8 உறுப்புகள்
%3B_subgroup_of_S4.svg.png) | %3B_subgroup_of_S4.svg.png) | %3B_subgroup_of_S4.svg.png) Dihedral group of order 8 Subgroups: .svg.png) .svg.png) %3B_subgroup_of_S4.svg.png) |
.svg.png)
6 உறுப்புகள்
.svg.png) சமச்சீர் குலம் S3 உட்குலம்: .svg.png) | .svg.png) சமச்சீர் குலம் S3 உட்குலம்: .svg.png) | .svg.png) சமச்சீர் குலம் S3 உட்குலம்: .svg.png) | .svg.png) சமச்சீர் குலம் S3 உட்குலம்: .svg.png) |
4 உறுப்புகள்
.svg.png) கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் | கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் | கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் |
%3B_subgroup_of_S4.svg.png) சுழற் குலம் Z4 | %3B_subgroup_of_S4.svg.png) சுழற் குலம் Z4 | சுழற் குலம் Z4 |
மூன்று உறுப்புகள்
சுழற் குலம் Z3 | சுழற் குலம் Z3 | சுழற் குலம் Z3 |
சுழற் குலம் Z3 |
மேற்கோள்கள்
- Jacobson (2009), p. 41
- Nathan Jacobson (2009), Basic algebra, 1 (2nd ), Dover, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-486-47189-1.