கெய்லி குல அட்டவணை

எந்த உறுப்புகளுக்கு எவை எதிர்மாறுகள், குலத்தின் மையம் என்ன, குலத்தின் கிரமம், அது பரிமாற்றுக் குலமா, பரிமாறாக்குலமா, -- போன்ற குலத்தின் பண்புகள் கெய்லி அட்டவணையைப் பார்த்தவுடனே தெரிந்துவிடும்.

குலத்தை ${\displaystyle G}$ எனக்கொள்வோம். அட்டவணை ${\displaystyle xy}$ ஐ க்காட்டுகிறது. ஒவ்வொரு நிரையிலும் முதல் காரணி ${\displaystyle x}$ எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும். ஒவ்வொரு நிரலிலும் இரண்டாவது காரணி ${\displaystyle y}$ எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும்.

முதலில் அட்டவணையில் தலைப்பு நிரலிலும் தலைப்பு நிரையிலும் உறுப்புகள் ஒரே வரிசையில் எழுதப்பட்டிருப்பது அவசியம். அப்படியிருந்தபின், ${\displaystyle k-}$ ஆவது நிரையும் ${\displaystyle k-}$ ஆவது நிரலும் உறுப்புகளிலும் வரிசையிலும் ஒன்றாக இருந்தால், அந்நிரையின் தலைப்பிலுள்ள உறுப்பு, குலத்தின் மையத்திலிருக்கும் என்று பொருள் கொள்ளலாம். ஏனென்றால், அவ்வுறுப்பை ${\displaystyle x_{k}}$ எனக்கொண்டால், அந்நிரை

${\displaystyle x_{k}x_{1},x_{k}x_{2},x_{k}x_{3},...}$

என்ற வரிசையில் ${\displaystyle G}$ இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும். அதேபோல்,${\displaystyle k}$ -ஆவது நிரல்

${\displaystyle x_{1}x_{k},x_{2}x_{k},x_{3}x_{k}...}$

என்ற வரிசையில் ${\displaystyle G}$ இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும்.

இவையிரண்டும் சமமானால், ${\displaystyle x_{k}}$ என்ற உறுப்பு எல்லா உறுப்புகளுடன் பரிமாறுகிறது என்று பொருள். ${\displaystyle \therefore x_{k}\in G}$ இன் மையம்.

எப்பொழுதும், எல்லா குலங்களிலும், ${\displaystyle e\in G}$ -இன் மையம்.

சமச்சீர் குலம் ${\displaystyle S_{3}}$ இன் பெருக்கல் அட்டவணை (கீழே உள்ளது) அது ஒரு பரிமாற்றாக்குலம் என்பதைக் காட்டும். இதுதான் மிகச்சிறிய பரிமாற்றாக்குலம்.இதன் கிரமம் 6. இது 3 கூறியீடுகளின் வரிசைமாற்றுக்குலம்.

${\displaystyle S_{3}=\{e;a=(1)(23);b=(2)(13);c=(3)(12);d=(123);(f)=(132)\}}$

${\displaystyle {\frac {y\rightarrow }{x\downarrow }}}$	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	b	c
b	b	f	e	d	c	a
c	c	d	f	e	a	b
d	d	c	a	b	f	e
f	f	b	c	a	e	d

இதனுடைய மையம் = ${\displaystyle \{e\}}$ . ஏனென்றால் மற்ற ஒரு நிரையும் அதற்கொத்த நிரலும் சமமாக இல்லை.

ஒரு ஒழுங்கு முக்கோணத்தின் சமச்சீர்களினால் ஏற்படும் இருமுகக்குலம் 6 உறுப்புகளுடையது:

மூன்று சுழற்சிகள் -- ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle s=120^{\circ }}$ சுழற்சி, ${\displaystyle t=240^{\circ }}$ சுழற்சி

மூன்று எதிர்வுகள் -- முக்கோணத்தின் மூன்று நடுவரைக்கோடுகளில் மூன்று எதிர்வுகள். இவை ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ எனப்படும்.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் குலத்தின் அட்டவணை:

${\displaystyle {\frac {y\rightarrow }{x\downarrow }}}$	e	s	t	r1	r2	r3
e	e	s	t	r1	r2	r3
s	s	t	e	r3	r1	r2
t	t	e	s	r2	r3	r1
r1	r1	r2	r3	e	s	t
r2	r2	r3	r1	t	e	s
r3	r3	r1	r2	s	t	e

கெய்லி அட்டவணையின் ஒத்தாசையால் நாம் ${\displaystyle S_{3}}$ யும் ${\displaystyle D_{3}}$ யும் சம அமைவியங்கள் என்பதைத்தெரிந்துகொள்ளலாம். ஏனென்றால்

${\displaystyle s\leftrightarrow (123)}$

${\displaystyle t\leftrightarrow (132)}$

${\displaystyle r_{1}\leftrightarrow (1)(23)}$

${\displaystyle r_{2}\leftrightarrow (2)(31)}$

${\displaystyle r_{3}\leftrightarrow (3)(12)}$

என்ற இருவழிக்கோப்பை செயல்படுத்தினால், இரண்டு அட்டவணைகளும் ஒன்றாவதைப்பார்க்கலாம்.

• வரிசைமாற்றுக் குலம்
• இருமுகக் குலங்கள்