সোনালী অনুপাত

দুইটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটির সাপেক্ষে ঐ দুইটি সংখ্যার যোগফলের অনুপাত যদি ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সাপেক্ষে বৃহত্তর সংখ্যার অনুপাতের সমান হয় তবে সংখ্যা দুইটি সোনালী অনুপাতে বিরাজমান।

a এবং b দুইটি সংখ্যার মধ্যে সোনালী অনুপাত বজায় থাকলে:-

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

যেখানে a বৃহত্তর সংখ্যা এবং b ক্ষুদ্রতর সংখ্যা।

সংজ্ঞার্থানুসারে,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

বাম পাশের হর ও লবকে b দ্বারা ভাগ করে পাই,

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}}}$

a/b কে φ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi }$

উভয় পাশে φ দ্বারা গুন করলে নিম্নের সমীকরণটি পাওয়া যায় :

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

অথবা

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1\ =\ 0.}$

উপোরোক্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার সমাধান হচ্ছে :

${\displaystyle \varphi ={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}.}$ (দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী)

যেহেতু φ ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\ \approx \ 1.618033989...}$

n-তম ফিবোনাচ্চি রাশিটি যদি F_n হয়, তাহলে সোনালি অনুপাত ${\displaystyle \,\phi }$ ও F_n এর সম্পর্ক হবে নিম্নরূপ:

F_n ≤ ${\displaystyle \,\phi ^{n-1}}$

যেখানে n হলো যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সোনালী অনুপাত এবং ফিবোনাচ্চি রাশিমালার মধ্যে নিম্নোক্ত সম্পর্কটি বিদ্যমান:

F_n = ${\displaystyle \,{\frac {\phi ^{n}+\phi _{c}^{n}}{\sqrt {5}}}}$

যেখানে, ${\displaystyle \,\phi _{c}}$ হলো সোনালী অনুপাতের যুগল, এর মান ${\displaystyle \,1-\phi }$;