লুকাস ধারা

দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,

${\displaystyle P^{2}-4Q\neq 0}$

তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0}$

${\displaystyle U_{1}(P,Q)=1}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1}$

এবং

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2}$

${\displaystyle V_{1}(P,Q)=P}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1}$

যদি দ্বিঘাত সমীকরণ

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0}$

এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও a ও b এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}}$

এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}.}$

এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে ${\displaystyle P^{2}-4Q}$ এর মান ০ না।.

লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-

${\displaystyle U_{n}={\frac {V_{n+1}-QV_{n-1}}{P^{2}-4Q}}}$

${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}}$

${\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}}$

${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}$

${\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}}$

${\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}}$.

P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরি লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-

U_n(1,−1) : ফিবোনাচ্চি রাশিমালা

V_n(1,−1) : লুকাস রাশিমালা

U_n(2,−1) : পেল রাশিমালা

U_n(1,−2) : জ্যাকবস্থাল রাশিমালা

• এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরি করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।

• Ribenboim, Paulo (২০০০)। My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory। Springer-Verlag New York Inc.। আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৮৯১১-০।
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos, 2014, 404 p. আইএসবিএন ৯৭৮-৫-৯৮৭০৪-৬৬৩-০ (rus.).