ভিরিয়াল উপপাদ্য

নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে দুটি বস্তুর মধ্যে ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বলের মান হচ্ছে,

${\displaystyle F={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{2}}}={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}}$

এবার এই বস্তুর উপর একটি বহিঃস্থ বল প্রয়োগ করলে এবং a বস্তুর জন্য বলের মানকে নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে আরও ভেঙে লিখলে দাঁড়ায়,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}m_{a}{\bar {v}}_{a}={\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}+{\bar {F}}_{ext}}$

এবার উভয় পক্ষে ${\displaystyle {\bar {r}}_{a}}$ স্কেলার গুণন করে a কণার জন্য সমষ্টি নিলে পাওয়া যায়,

${\displaystyle \sum _{a}{\frac {d}{dt}}(m_{a}{\bar {v}}_{a}).{\bar {r}}_{a}=\sum _{a\neq b}{\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ab}^{3}}}.{\bar {r}}_{ab}.{\bar {r}}_{a}+\sum _{a}{\bar {F}}_{ext}^{a}.{\bar {r}}_{a}}$

এবার b বস্তুর জন্য বলের মান ভেঙে লিখে একই প্রক্রিয়া অনুসারে করলে অনুরূপ একটি সমীকরণ পাওয়া যাবে,

${\displaystyle \sum _{b}{\frac {d}{dt}}(m_{b}{\bar {v}}_{b}).{\bar {r}}_{b}=\sum _{a\neq b}{\frac {Gm_{a}m_{b}}{r_{ba}^{3}}}.{\bar {r}}_{ba}.{\bar {r}}_{b}+\sum _{b}{\bar {F}}_{ext}^{b}.{\bar {r}}_{b}}$

উপরের দুটি সমীকরণেই সমতা চিহ্নের বাম পাশের অংশকে এভাবে লেখা যায়,

${\displaystyle \sum _{a}{\frac {d}{dt}}(m_{a}{\bar {v}}_{a}).{\bar {r}}_{a}=\sum _{a}m_{a}{\bar {r}}_{a}{\frac {d{\bar {v}}_{a}}{dt}}-\sum _{a}m_{a}{\bar {v}}_{a}{\frac {d{\bar {r}}_{a}}{dt}}=\sum _{a}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(m_{a}{\bar {r}}_{a}.{\bar {r}}_{a})-\sum _{a}m_{a}{\bar {v}}_{a}.{\bar {v}}_{a}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\bar {I}}}{dt^{2}}}-2E_{kin}}$

1. Clausius, RJE (১৮৭০)। "On a Mechanical Theorem Applicable to Heat"। Philosophical Magazine, Ser. 4। 40: 122–127।

• The Virial Theorem at MathPages
• Gravitational Contraction and Star Formation, Georgia State University