প্যারাবলোইড

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইড, উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড,অধিগগোলকের

উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের পেন্সিল

${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

এবং পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের পেন্সিল

${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

উভয়ই অবশেষে একই তলে গিয়ে পৌঁছয়, এর সমীকরণ হলো- ${\displaystyle z=x^{2}}$

ইটা কেবলমাত্র যা একটি অধিগোলাকার চোঙ (চিত্র দেখুন)

উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো -

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

এর গাউসীয় বক্রতা হলো

${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

এবং গড় বক্রতা

${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$

গাউসীয় বক্রতা এবং গড় বক্রতা সর্বদা ধনাত্মক, মুলবিন্দুতে এদের সর্বোচ্চ মান আছে এবং মুলবিন্দু থেকে দূরবর্তী যেকোনো বিন্দুতে গেলে এর মান কমতে থাকে। তাত্বিকভাবে বলা যায়, অসীম দূরত্বে এদের মান শূন্য।

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো -[2]

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

এর গাউসীয় বক্রতা হলো

${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

এবং গড় বক্রতা

${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$

পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের অপেক্ষকটি হলো

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

যদি পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডটি +z বরাবর π/4 কোনে আবর্তিত হয় (দক্ষিণ হস্ত নিয়মানুসারে),তবে প্রাপ্ত তলের সমীকরণ হলো

${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$

এবং যদি a = b হয় তবে সমীকরণটি সরলীকৃত হয়ে হবে -

${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}}$.

পরিশেষে, ধরা যাক  :${\displaystyle a=2^{\frac {1}{2}}}$, তাহলে আমরা দেখতে পাবো

${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$

ইহা

${\displaystyle z=xy}$

তলের অনুবন্ধী তল। ইহাকেই গুণন পদ্ধতির জ্যামিতিক উপস্থাপন (ত্রিমাত্রিক নমোগ্রাফ) হিসাবে মনে করা যেতে পারে।

দুটি অধিবৃত্তীয় ℝ² → ℝ অপেক্ষক-

${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$

এবং

${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$

পরস্পর তারঙ্গিক অনুবন্ধী যুগল এবং একত্রে একটি বৈশ্লেষিক অপেক্ষক তৈরী করে।

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$

যা f(x) = x²/2 অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক ℝ → ℝ এর একটি বিশ্লেষণী ধারাবাহিকতা।

প্রতিসম অধিবৃত্তাকার প্রতিফলকের সমীকরণ হলো

${\displaystyle 4FD=R^{2},}$

যেখানে F হলো ফোকাস দৈর্ঘ্য, D হলো প্রতিফলোকের গভীরতা এবং R হলো ব্যাসার্ধ। এরা প্রত্যেকেই একই এককে পরিমাপ করা হয়। যেকোনো দুটির মান জানা থাকলে তৃতীয়টি সমীকরণ থেকে বের করে নেওয়া যায়।

প্রতিফলক তলের সাথে ব্যাস পরিমাপের পদ্ধতিটি আরো জটিল। অনেক সময় একে সরলরৈখিক ব্যাস বলা হয়, এবং এটি সমতল বৃত্তাকার তলের ব্যাসের সমান। যাকে সঠিক আকারে কেটে বেঁকিয়ে প্রতিফলক তৈরী করা হয়। এর জন্য প্রয়োজনীয় পরিমাপ হলো P = 2F ( যা P = R²/2D এর সমতুল্য) এবং Q = (P² + R²)${\displaystyle ^{\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle a=2^{\frac {1}{2}}}$

যেখানে F, D, and R আগের মতই অর্থ বহন করছে। ক্ষেত্রের মাপের সাথে ব্যাসের সমীকরণটি হলো :

${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$

যেখানে ln x সাধারণ লগারিদম বোঝাচ্ছে। অর্থাৎ লগারিদমের বেস হলো e।

ডিক্সের আয়তন অর্থাৎ যত পরিমান তরল ডিক্সে রাখা যাবে যদি ডিক্সটিকে পাতিয়ে রাখা হয়, তা হলে :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$

চিহ্ন গুলির অর্থ আগেই বলা হয়েহে। সূত্রটি চোঙা (πR²D), অর্ধ গোলক (2π/3R²D, যেখানে D = R) শঙ্কুর (π/3R²D) আয়তনের সাথে তুলনীয়। πR² হলো ডিক্সের মুক্ত অংশের ক্ষেত্রফল। যা আপতিত সূর্যরশ্মির আপতন তলের সমানুপাতিক। প্যারাবলোইড তলের ক্ষেত্রফল নিম্নোক্ত সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় :
${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$