ক্ষেত্র (গণিত)

একটি ফীল্ড ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ একটি সেট, যাতে ${\displaystyle +}$ এবং ${\displaystyle *}$ নামের দুইটি বাইনারি ফাংশন (${\displaystyle {\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$) সংজ্ঞায়িত, যেন:

• ${\displaystyle +}$ এবং ${\displaystyle *}$ উভয়েই সংযোজনযোগ্য:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\,(a*b)*c=a*(b*c)}$, যেখানে ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle +}$ এবং ${\displaystyle *}$ উভয়েই বিনিময়যোগ্য

${\displaystyle a+b=b+a,a*b=b*a}$, যেখানে ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle *}$ ফাংশনটি ${\displaystyle +}$ এর উপর বিতরণযোগ্য

${\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}$, যেখানে ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle +}$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-এ একটি সদস্য ${\displaystyle 0}$ আছে যেন যে কোন ${\displaystyle a\in {\mathcal {F}}}$ এর জন্য ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ হয়

• ${\displaystyle *}$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-এ একটি সদস্য ${\displaystyle 1}$ আছে (${\displaystyle 0}$ থেকে ভিন্ন) যেন যে কোন ${\displaystyle a\in {\mathcal {F}}}$ এর জন্য ${\displaystyle a*1=1*a=a}$ হয়

• ${\displaystyle +}$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন ${\displaystyle a\in {\mathcal {F}}}$ এর জন্য একটি ${\displaystyle -a\in {\mathcal {F}}}$ আছে যেন ${\displaystyle a+(-a)=0}$ হয়

• ${\displaystyle *}$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন ${\displaystyle a\in {\mathcal {F}}}$, যেখানে ${\displaystyle a\neq 0}$, এর জন্য একটি ${\displaystyle a^{-1}\in {\mathcal {F}}}$ আছে যেন ${\displaystyle a*a^{-1}=1}$ হয়

• বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি ফীল্ড।
• জটিল সংখ্যাগুলিও একটি ফীল্ড।
• পূর্ণ সংখ্যাগুলি ফীল্ড নয়। কারণ এমন অনেক পূর্ণ সংখ্যা আছে যাদের ${\displaystyle *}$ এর জন্য বিপরীতক পূর্ণ সংখ্যা নয়। যেমন ৫ এর বিপরীতক হল ১/৫, যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। অর্থাৎ পূর্ণ সংখ্যার সেটে ৫ এর কোন বিপরীতক নেই।
• মূলদ এবং বীজগাণিতিক সংখ্যাগুলি ফীল্ড।