e (গাণিতিক ধ্রুবক)

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + ... অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।[2]

প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের বাইনোমিয়াল সূত্র বলে,

${\displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)x^{3}}{3!}}+\ldots }$

সুতরাং, যখন ${\displaystyle x={\frac {1}{n}}}$, তখন,

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+\ldots }$

যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ এর চরম মান x = e এ ঘটে

${\displaystyle e^{x}}$ রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে ${\displaystyle \exp(x)}$ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$ সমীকরণটি e কে ১, π এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার[3] দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা(π পাই এর মত)