ویژہ قدر

ایک سمتیہ فنکشن ${\displaystyle \ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ کے لیے اگر سمتیہ کی ایسی قیمت ${\displaystyle \ X=X^{*}}$ موجود ہو جس کے لیے،

جہاں ${\displaystyle \ \lambda }$ ایک ساکن ہو، تو اس ${\displaystyle \ \lambda }$ کو فنکشن کی ویژہ قدر اور ${\displaystyle \ X^{*}}$ کو ویژہ سمتیہ کہتے ہیں۔ انگریزی میں انہیں eigenvalue اور eigenvector کہتے ہیں۔

ایک لکیری سمتیہ فنکشن کو میٹرکس ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے ${\displaystyle \ f(X)=AX}$ جہاں X ایک ${\displaystyle \ n\times 1}$ میٹرکس (سمتیہ) ہے اور A کا سائیز ${\displaystyle \ n\times n}$ ہے۔ اب ہمیں ایسے X اور ${\displaystyle \ \lambda }$ نکالنے ہیں کہ

اس مساوات کو یوں لکھا جا سکتا ہے (جہاں I شناخت میٹرکس ہے)
${\displaystyle \ AX-\lambda X=0}$
${\displaystyle \ (A-\lambda I)X=0}$
اب یہ اسی صورت ممکن ہے، جب کہ بائیں ہاتھ کی میٹرکس کا دترمینان صفر ہو
${\displaystyle \ \det(A-\lambda I)=0}$
اس طرح ہمیں ${\displaystyle \ \lambda }$ میں درجہ n کی مساوات مل جاتی ہے، جس کا حل ہمیں ${\displaystyle \ \lambda }$ کی n قدریں دے سکتا ہے۔ ان میں سے کسی بھی ویژہ قدر ${\displaystyle \ \lambda }$ کے لیے میٹرکس ${\displaystyle \ A-\lambda I}$ کا رتبہ n سے کم ہو گا، اس لیے سمتیہ X کے ایک جُز کی کوئی قدر فرض کر کے ہم باقی اجزا کی قدر n-1 یکلخت لکیری مساوات کو حل کر کے نکال سکتے ہیں۔ اس طرح ہمیں میٹرکس A کا ایک ویژہ سمتیہ معلوم ہو جائے گا۔