لکیری آزادی

سمتیہ مجموعہ ${\displaystyle v_{0},v_{1},...,v_{n-1}}$ کے لکیری تولیف کی اس مساوات

${\displaystyle \alpha _{0}v_{0}+\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n-1}v_{n-1}=\mathbf {0} }$

کا ایک حل یہ ہے

${\displaystyle \alpha _{0}=0,\,\alpha _{1}=0,...,\alpha _{n-1}=0}$

اگر یہی واحد ممکن حل ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد کہلائے گا۔ اگر اس کے علاوہ بھی کوئی حل ممکن ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری غیر آزاد ہو گا۔ غیر آزادی کی صورت میں ان میں سے کسی بھی سمتیہ کو باقی ماندہ سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر لکھنا ممکن ہو جائے گا۔

یہی اصول کسی میٹرکس کی قطاروں (اور ستونوں) پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ اگر کسی میڑکس کی کوئی قطار باقی ماندہ قطاروں کے لکیری تولیف پر لکھی جا سکے تو یہ قطار باقی قطاروں پر لکیری منحصر ہو گی (بدیگر "لکیری آزاد" کہلائے گی)۔ اگر کسی میٹرکس کی کوئی بھی قطار باقی ماندہ قطاروں سے لکیری تولیف کے ذریعہ حاصل نہ کی جا سکتی ہو، تو قطاروں کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

میٹرکس A کے تمام ستونوں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے لازمی ہے کہ مساوات ${\displaystyle AX=0}$ کا واحد ممکن حل ${\displaystyle X=0}$ ہو۔ یعنی

${\displaystyle AX=\mathbf {0} \,\,\Rightarrow X=\mathbf {0} }$

اگر صفر سمتیہ کے علاوہ بھی کوئی حل ہو، تو ستون باہمی لکیری آزاد نہیں ہوں گے۔ اسی طرح میٹرکس کی تمام قطاروں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے ضروری ہے کہ

${\displaystyle A^{t}Y=\mathbf {0} \,\,\Rightarrow Y=\mathbf {0} }$

جہاں ${\displaystyle A^{t}}$ میٹرکس ${\displaystyle A}$ کے پلٹ کو ظاہر کرتا ہے۔

• میٹرکس
• قطار اور ستون فضا
• سائیلیب

• سافٹوئیر سائیلیب کے حوالے سے راست الجبرا کا ایک سبق ۔حٹم‌ل