வகையீடு (கணிதம்)

சார்பு y = ƒ(x) இல் சாரா மாறி x இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் dx ஐப் பொறுத்து y இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் dy ஆக, வகையீடு லைப்னிட்சால் முதன்முதலாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அதன் மூலம் x ஐப் பொறுத்த y இன் கணநேர மாறுவீதம், அதாவது வகைக்கெழு பின்வருமாறு தரப்பட்டது:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ இதுவே வகைக்கெழுவிற்கான லைப்னிட்சின் குறியீடாகும்.

இதில் dy மற்றும் dx இரண்டும் அளவில் நுண்ணியளவானவையாக இருந்தாலும் dy/dx இன் மதிப்பு நுண்ணளவினதாக இல்லாமல் ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும்.

லைப்னிட்சின் இந்த நுண்ணளவுகளின் பயன்பாடு பரவலாக விமர்சனத்துக்கு உள்ளானது. லைப்னிட்சின் நுண்ணளவுகள் இல்லாமல் வகையீட்டை வரையறுத்தவர் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி.[1][2] வேறுபாட்டு ஈவுகளின் எல்லையாக வகைக்கெழு வரையறுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து வகையீடு வரையறுக்கப்பட்டது.

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$

இவ்வரையறையில் dy மற்றும் dx முடிவுறு மெய்யெண் மதிப்புகளை எடுக்கும் இரண்டு புது மாறிகள்[3] லைப்னிட்சால் கூறப்பட்டது போல இவை இரண்டும் நுண்ணளவானவை அல்ல.[4] எல்லைகள் குறித்த தற்காலத்திய கருத்துரு கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசினுடையதாக (Karl Weierstrass) இருப்பினும் வகையீடு குறித்த கோஷியின் கருத்து தற்கால பகுவியல் முறைமைகளில் தரமானதாகக் கருதப்படுகிறது.[5][6]

 x₀ புள்ளியில் சார்பு ƒ(x) இன் வகையீடு.

வகை நுண்கணிதத்தின் நவீன முறைகளில் வகையீடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:[7]

x எனும் ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு ƒ(x) இன் வகையீடு df , x , Δx ஆகிய இரு சாரா மெய்யெண் மாறிகளில் அமைந்த ஒரு சார்பு.

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\rm {def}}{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

df(x) அல்லது df என மாறிகளை விட்டுவிட்டும் எழுதலாம். y = ƒ(x) எனில் வகையீட்டை dy எனவும் எழுதலாம்.

dx(x, Δx) = Δx என்பதால் dx = Δx ஆகும். எனவே,

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,}$

 x₁ மாறியைப் பொறுத்த y இன் பகுதி வகையீடு,  x₁ இல் ஏற்படும் மாறுதல்  dx₁ ஆல் y இல் ஏற்படும் மாறுதலின் முதன்மைப் பகுதியாகும்.

 x₁ ஐப் பொறுத்த y இன் பகுதி வகையீடு:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

அனைத்து சாரா மாறிகளைப் பொறுத்த பகுதி வகையீடுகளின் கூடுதல் முழு வகையீடு ஆகும்:

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு y = ƒ(x) இன் உயர்வரிசை வகையீடுகள்:[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2},}$

பொதுவாக,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

வகைக்கெழு, பகுதி வகைக்கெழு, முழு வகைக்கெழு ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து வகையீட்டின் ஒத்த பண்புகளை நேரிடையாகப் பெறலாம். அப்பண்புகள்:[9]

• நேரியல்பு:

a , b இரு மாறிலிகள்; ƒ , g இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• பெருக்கல் விதி:

ƒ , g இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

• அடுக்கு விதி:

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

• சங்கிலி விதி:[10]
  • y = ƒ(u) மற்றும் u = g(x) வகையிடத்தக்கவை எனில்,

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• • If y = ƒ(x₁, ..., x_n), மாறிகள்  x₁, ..., x_n அனைத்தும் மற்றொரு மாறி  t ஐச் சார்ந்திருந்தால்,

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

1. For a detailed historical account of the differential, see Boyer 1959, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in Kline 1972, Chapter 40.
2. Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities (Boyer 1959, pp. 273–275), and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" (Cauchy 1823, p. 12; translation from Boyer 1959, p. 273).
3. Boyer 1959, p. 275
4. Boyer 1959, p. 12: "The differentials as thus defined are only new variables, and not fixed infinitesimals..."
5. Courant 1937i, II, §9: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment Δy by the linear expression hƒ(x) to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."
6. Boyer 1959, p. 284
7. See, for instance, the influential treatises of Courant 1937i, Kline 1977, Goursat 1904, and Hardy 1905. Tertiary sources for this definition include also Tolstov 2001 and Ito 1993, §106.
8. Cauchy 1823. See also, for instance, Goursat 1904, I, §14.
9. Goursat 1904, I, §17
10. Goursat 1904, I, §§14,16

• Carl Benjamin Boyer (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications.
• Augustin-Louis Cauchy (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal, http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0.
• Richard Courant (1937i), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: யோன் வில்லி அன் சன்ஸ் (published 1988), பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-471-60842-4.
• Richard Courant (1937ii), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: யோன் வில்லி அன் சன்ஸ் (published 1988), பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-471-60840-0.
• Richard Courant; Fritz John (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-540-65058-X
• David Eisenbud; Joe Harris (mathematician) (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-98637-5.
• Maurice Fréchet (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 42: 293–323.
• Édouard Goursat (1904), A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications (published 1959), http://www.archive.org/details/coursemathanalys01gourrich.
• Jacques Hadamard (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette XIX (236): 341–342.
• G. H. Hardy (1908), A Course of Pure Mathematics, கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-09227-2.
• Einar Hille; Ralph Phillips (mathematician) (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society.
• Ito, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ), MIT Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-262-59020-4.
• Morris Kline (1977), "Chapter 13: Differentials and the law of the mean", Calculus: An intuitive and physical approach, John Wiley and Sons.
• Morris Kline (1972), Mathematical thought from ancient to modern times (3rd ), ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம் (published 1990), பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-19-506136-9
• Howard Jerome Keisler (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ), http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (2nd ), Cambridge University Press, http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf.
• Ieke Moerdijk; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag.
• Abraham Robinson (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-691-04490-3.
• Tolstov, G.P. (2001), "Differential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=D/d031810.

• ஒரு சார்பின் வகையீடு at Wolfram Demonstrations Project