வகையிடலின் கூட்டல் விதி

கூட்டல் விதியை வகையிடலின் அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

${\displaystyle y=u+v\,}$

Δy, Δu , Δv என்பவை முறையே y, u , v ஆகியவற்றில் ஏற்படும் சிறிய கூடுதல் அளவுகள் எனில்:

${\displaystyle y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=(u+v)+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}\,}$

${\displaystyle \Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}\,}$

Δx ஆல் வகுக்க:

${\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle \Delta {x}\to 0}$ எனில்:

${\displaystyle \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {u}\to 0}{\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+\lim _{\Delta {v}\to 0}{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}}$

வகையிடலின் வரையறைப்படி:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}$

எனவே வகையிடலின் கூட்டல் விதி:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}$

வகையிடலின் கூட்டல் விதியைக் கழித்தலுக்குப் பொருத்தமானதாக பின்வருமாறு நிறுவலாம்.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).}$

வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியின் சிறப்பு வகையான k=−1 என்பதன் முடிவைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.}$

எனவே கூட்டல், கழித்தல் இரண்டையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பின்வருமாறு தரலாம்:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.}$

f₁, f₂,..., f_n ஆகிய சார்புகளுக்கு:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{1\leq i\leq n}f_{i}(x)\right)={\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)\right)={\frac {d}{dx}}f_{1}(x)+{\frac {d}{dx}}f_{2}(x)+\cdots +{\frac {d}{dx}}f_{n}(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{1\leq i\leq n}f_{i}(x)\right)=\sum _{1\leq i\leq n}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right).}$

அதாவது, தரப்பட்ட சார்புகளின் கூடுதலின் வகைக்கெழு அச்சார்புகள் ஒவ்வொன்றின் வகைக்கெழுக்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.

• Gilbert Strang: Calculus. SIAM 1991, ISBN 0-9614088-2-0, p. 71 (restricted online version (google books))
• sum rule at PlanetMath
• கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 76. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm