ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)}$

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் ${\displaystyle \lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!}$ என்று பிரதியிட்டு காமா சார்பு சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்த இவ்வடிவமானது முன்னர் குறிப்பிட்ட வடிவிற்கு ஒருங்கும். .

சார்பு ${\displaystyle \phi }$ -ன் வளர்நிலைகளைப் பொறுத்து ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.[4]

"இயல்பான" அனுமானங்களுடன் (இருப்பினும் பலவீனமான போதுமான நிபந்தனைகளாக இல்லாதவை) எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாகக் கொண்டு, கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி, ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் நிறுவலை அளித்துள்ளார்.[5]

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை ${\displaystyle B_{k}(x)\!}$ களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

${\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}$

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}$

இது ${\displaystyle n\geq 1}$ க்கு ${\displaystyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!}$ என்றவாறு உள்ளது.

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை0 பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:[6]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}$

இது ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$ க்கு உண்மையாகும் .

காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}$

இது ${\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}$ ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும்

இங்கு ${\displaystyle \zeta (x)}$ என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$

இது ${\displaystyle 0<Re(s)<1\!}$ உண்மையாகும்

இங்கு ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}$ மற்றும் ${\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!}$ ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,dx={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$

• http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html
• http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf