அடுக்குச் சராசரி

p < q எனில்,

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே${\displaystyle M_{p}}$ , ${\displaystyle M_{q}}$ இரண்டும் சமம்.

p -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக ${\displaystyle p\in \{-1,0,1\}}$ எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

${\displaystyle w_{i}\in (0;1]}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}$ எனவும்,

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$ எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

p மற்றும் q எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

இதிலிருந்து

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$ என எழுதலாம்.

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

எனவே அடுக்குகள், −p மற்றும் −q -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

q அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$ ...................(q -நேர்மம்).

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$ .....................(q -எதிர்மம்).

இருபுறமும் அடுக்கு q -க்கு உயர்த்த:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}}$

இவ்விரண்டும் ${\displaystyle x_{i}^{q}}$ என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

${\displaystyle \log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$

எனவே எந்தவொரு நேர்ம q - மதிப்பிற்கும்:

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

p < q - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

p எதிர்மம், q நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

p , q இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

${\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}$ ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$ .

f அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}$

f -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் q > p என்பதால் f குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}$

${\displaystyle {\sqrt[{\frac {q}{p}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

இருபுறமும் 1/q அடுக்குக்கு உயர்த்த:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, p , q -க்குப் பதிலாக முறையே −q and −p, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை p , q இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}$

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாஸ்பிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}$

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, ${\displaystyle -\infty }$ மற்றும் ${\displaystyle +\infty }$ -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து x_i -களில் பெரும மதிப்பு - x₁, சிறும மதிப்பு - x_n என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0}$

p நேர்மம் எனில்:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}$

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})}$ என நிறுவலாம்.

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}$

p எதிர்மம் என்க:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0}$

p < 0 எனில்:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}$

எனவே:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})}$

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}$