பரிமாற்று வளையம்

ஒரு வளையம் என்பது கணம் R ஆனது இரு ஈருறுப்புச் செயலிகளைக் கொண்டது. அதாவது  ஒரு வளையத்தின் எந்த இரு  உறுப்புகளின்   கூட்டு செயல்பாடுடன் மூன்றாவது உறுப்பு சேர்வது.இந்த செயல்பாடு கூட்டல்(+) மற்றும்  பெருக்கலை(.)ப்பொறுத்து  அமையும். எ.கா      a + b and a ⋅ b. ஒரு வளையத்தை உருவாக்க இந்த இரு செயல்களும் பல பண்புகள் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: வளையமானயது கூட்டலைப் பொறுத்து பரிமாற்றுக் குலமாகவும் பெருக்கலை பொறுத்து ஒற்றைக்குலமாகவும் இருக்கும். மற்றும் கூட்டலைப் பொறுத்து பெருக்கல் பங்கீட்டுவிதியானது a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான சமனி உறுப்புகள்முறையே 0 மற்றும் 1 ஆகும்.

இங்கு பெருக்கல் பரிமாற்று 

a ⋅ b = b ⋅ a,

யைக் கொண்ட வளையம் R ஆனது பரிமாற்று உடையது.இந்த கட்டுரையின் எஞ்சியுள்ள பகுதிகள், வெளிப்படையாக வேறுவிதமாக கூறாவிட்டால், அனைத்து வளையங்களும் பரிமாற்றமாக இருக்கும்.

ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு, மற்றும் சில முக்கியத்துவம் வாய்ந்த, கூட்டல்மற்றும் பெருக்கல் இரு செயல்பாடுகளை கொண்ட முழு எண் Z இன் வளையமாகும்.முழுமையின் பெருக்கம் ஒரு பரிமாற்று செயல்பாடாக இருப்பதால், இது ஒரு பரிமாற்று வளையமாகும். இது பொதுவாக ஜெர்மன் வார்த்தை Zahlen (எண்கள்) ஒரு சுருக்கமாக Z என குறிப்பிடப்படுகிறது.

ஒரு புலம் என்பது  பூஜ்யம் அல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு மாறக்கூடிய பரிமாற்று வளையம் அதாவது, a இன் பெருக்கல் தலைகீழீயாக  b உள்ளது .எனில்  a⋅ b = 1. எனவே, வரையறை மூலம், எந்த ஒரு புலமும் பரிமாற்று வளையமாகும். , விகிதமுறு,மெய் மற்றும் சிக்கலான எண்கள் ஒரு புலத்தை உருவாக்கும்.

R ஆனது பரிமாற்ற வளையமாக இருந்தால், R இன் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவையின் தொகுப்பின் மாறி X இன் கெழுக்கலானது பல்லுறுப்பு வளையத்தை உருவாக்கும். இவற்றை  R[X] என குறிப்போம். இதேபோல் பல மாறிகளுக்கு உண்மையாகும்.

V என்பது சில இடப்பெயர்ச்சி வெளியாக இருந்தால், உதாரணமாக சில Rn இன் உட்கணம், V- இல் மெய் அல்லது சிக்கலான-மதிப்பின் தொடர்ச்சியான சார்பு,ஒரு பரிமாற்று வளையத்தை உருவாக்கும். இரண்டு கருத்துக்கள் வரையறுக்கப்படும் போது வகையிடத்தக்கச்  அல்லது ஹோலோ மோர்ஃபிக் சார்புகளுக்கு இது பொருந்தும்.இங்கு V என்பது சிக்கலான பன்மடங்காகும்.