ஒற்றைக்குலம்

ஒரு கணம் S, • என்ற ஈருறுப்புச் செயலியுடன் சேர்ந்து பின்வரும் மூன்று அடிக்கோள்களை நிறைவு செய்யுமானால் அது ஒற்றைக்குலம் எனப்படும்.

• அடைவுப் பண்பு: S கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகள் a, b க்கும் a • b ன் மதிப்பு S ன் உறுப்பாகும்.
• சேர்ப்புப் பண்பு: S கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகள் a, b மற்றும் c க்கும் (a • b) • c = a • (b • c) என்பது உண்மையாகும்.
• முற்றொருமை உறுப்பு (Identity element): S கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு a உறுப்புக்கும்,

e • a = a • e = a என்றவாறு e என்ற முற்றொருமை உறுப்பு S ல் இருக்கும்.

அதாவது கணிதக் குறியீட்டில்,

• அடைவுப் பண்பு: ${\displaystyle \forall a,b\in S:a\cdot b\in S}$ ,
• சேர்ப்புப் பண்பு: ${\displaystyle \forall a,b,c\in S:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• முற்றொருமை உறுப்பு: ${\displaystyle \exists e\in S:\forall a\in S:e\cdot a=a\cdot e=a}$ .

சுருக்கமாக, முற்றொருமை உறுப்புடைய அரைக்குலம் ஒரு ஒற்றைக்குலமாகும். மேலும் ஒற்றைக்குலத்தின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் நேர்மாறு உறுப்பு இருந்தால் ஒற்றைக்குலம் ஒரு குலமாகும். ஒற்றைக்குலத்தைச் சேர்ப்புப் பண்பும் முற்றொருமையும் கொண்ட குலமனாகக் கருதலாம்.

• இயல் எண்களின் கணம் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்தும் (முற்றொருமை 0) பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்தும் (முற்றொருமை 1) ஒற்றைக்குலமாகும்.
• நேர்ம முழு எண்களின் கணம் பெருக்கலைப் பொறுத்து (முற்றொருமை 1) ஒற்றைக்குலமாகும்.