நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் (List of integrals of inverse trigonometric functions) கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள், ஆர்க் சார்புகள் (arc functions) எனவும் வழங்கப்படுகின்றன.
C ஆனது தொகையிடலின் குறிப்பிலா மாறிலி ஆகும். ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் தொகையீட்டின் மதிப்பைப் பற்றித் தெரிந்தால் மட்டுமே C இன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க முடியும். எனவே ஒவ்வொரு சார்புக்கும் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் தொகையீடுகள் உள்ளன.
பொதுவாக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கு மூன்றுவிதமான குறியீடுகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, நேர்மாறு சைன் சார்பின் குறியீடு:

- sin⁻¹
asin
arcsin
கீழே தரப்பட்டுள்ள நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் வாய்ப்பாடு ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒத்ததொரு வாய்ப்பாடு நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியலில் உண்டு.

நேர்மாறு சைன் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \arcsin(a\,x)\,dx=x\arcsin(a\,x)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C

\int x\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(a\,x)}{2}}-{\frac {\arcsin(a\,x)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C

\int x^{2}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(a\,x)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C

\int x^{m}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)

\int \arcsin(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arcsin(a\,x)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)}{a}}+C

\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx=x\arcsin(a\,x)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx

\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)

நேர்மாறு கொசைன் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \arccos(a\,x)\,dx=x\arccos(a\,x)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C

\int x\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(a\,x)}{2}}-{\frac {\arccos(a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C

\int x^{2}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C

\int x^{m}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)

\int \arccos(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arccos(a\,x)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)}{a}}+C

\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx=x\arccos(a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(a\,x)^{n-2}\,dx

\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)

நேர்மாறு டேன்ஜெண்ட் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \arctan(a\,x)\,dx=x\arctan(a\,x)-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C

\int x\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(a\,x)}{2}}+{\frac {\arctan(a\,x)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C

\int x^{2}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C

\int x^{m}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)

நேர்மாறு கோடேன்ஜெண்ட் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \operatorname {arccot} (a\,x)\,dx=x\operatorname {arccot} (a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C

\int x\operatorname {arccot} (a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot} (a\,x)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot} (a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C

\int x^{2}\operatorname {arccot} (a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot} (a\,x)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C

\int x^{m}\operatorname {arccot} (a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot} (a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)

நேர்மாறு சீகெண்ட் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \operatorname {arcsec} (a\,x)\,dx=x\operatorname {arcsec} (a\,x)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C

\int x\operatorname {arcsec} (a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec} (a\,x)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C

\int x^{2}\operatorname {arcsec} (a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec} (a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C

\int x^{m}\operatorname {arcsec} (a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec} (a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)

நேர்மாறு கொசீகெண்ட் சார்பின் தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகள்

\int \operatorname {arccsc} (a\,x)\,dx=x\operatorname {arccsc} (a\,x)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C

\int x\operatorname {arccsc} (a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc} (a\,x)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C

\int x^{2}\operatorname {arccsc} (a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc} (a\,x)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C

\int x^{m}\operatorname {arccsc} (a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc} (a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)

தொகையீடுகளின் பட்டியல்

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.