நறுக்கம்

Through a shear mapping coded in SVG,
a செவ்வகம் becomes a இணைகரம்.

தளம் ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ இல் கிடைமட்ட நறுக்கம் (horizontal shear) (அல்லது x அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) என்பது ${\displaystyle (x,y)}$ ஆள்கூறுகள் கொண்ட பொதுவானதொரு புள்ளியை ${\displaystyle (x+my,y)}$ என்ற புள்ளிக்கு நகர்த்தும் சார்பாகும். இதில் நிலையான மதிப்புள்ள ${\displaystyle m}$ என்பது நறுக்கக் காரணியாகும் (shear factor).

இக்கோப்பால் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதன் ${\displaystyle y}$ ஆள்கூற்றின் விகிதவளவு கிடைமட்ட திசையில் நகர்த்தப்படுகிறது.

கிடைமட்ட நறுக்கத்தில்,

${\displaystyle x}$-அச்சுக்கு மேற்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ${\displaystyle m>0}$ எனும்போது வலப்புறமும், ${\displaystyle m<0}$ எனும்போது இடப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் ${\displaystyle x}$-அச்சுக்குக் கீழ்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; ${\displaystyle x}$-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.

${\displaystyle x}$-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை ${\displaystyle x}$-அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் குத்துக்கோடுகள், சாய்வு ${\displaystyle 1/m}$ கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன. குத்துக்கோடுகள் திருப்பப்படும் கோணம் ${\displaystyle \varphi }$ நறுக்கக் கோணம் எனப்படும். நறுக்கக் கோணத்தின் கோடேன்ஜெண்ட் மதிப்பு நறுக்கக் காரணி ${\displaystyle m}$ க்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு நிரல் அணியாக எழுதினால் (2×1 அணி), நறுக்கத்தை 2x2 அணியின் பெருக்கலாக எழுதலாம்:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle x}$ மற்றும் ${\displaystyle y}$ அச்சுகளின் பரிமாற்றம் தவிர, குத்து நறுக்கம் (vertical shear) (${\displaystyle y}$-அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) கிடைமட்ட நறுக்கம் போன்றதாக இருக்கும்.

குத்து நறுக்கத்தில்:

${\displaystyle y}$-அச்சுக்கு வலப்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ${\displaystyle m>0}$ எனும்போது மேற்புறமும், ${\displaystyle m<0}$ எனும்போது கீழ்ப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் ${\displaystyle y}$-அச்சுக்கு இடப்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; ${\displaystyle y}$-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.

${\displaystyle y}$-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் (குத்துக்கோடுகள்) இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை ${\displaystyle y}$-axis அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் கிடைமட்டக் கோடுகள், சாய்வு ${\displaystyle m}$ கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன.

ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறு அணியானது, கிடைமட்ட நறுக்கத்தில் பெருக்கப்படும் 2x2 அணியின் இடமாற்று அணியால் பெருக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$