கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது, அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதாவது முக்கோணம் ${\displaystyle \triangle ABC}$ -ஐ எடுத்துக் கொள்க.

• ${\displaystyle \angle A}$ -ன் இருசமவெட்டி, ${\displaystyle \ BC}$ பக்கத்தை ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
• கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் ${\displaystyle \ BD}$ மற்றும் ${\displaystyle \ DC}$ -ன் விகிதமானது, ${\displaystyle \ AB}$ மற்றும் ${\displaystyle \ AC}$ பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}$

• பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியானது பக்கம் ${\displaystyle \ BC}$ -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

• இதிலிருந்து, கோணம் ${\displaystyle \angle BAC}$ -ன் இருசமவெட்டியாக, ${\displaystyle \ AD}$ இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

• மேலேயுள்ள படத்தில், ${\displaystyle \triangle ABD}$ மற்றும் ${\displaystyle \triangle ACD}$ முக்கோணங்களுக்கு சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}$ ..... (சமன்பாடு 1)

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$ ..... (சமன்பாடு 2)

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் சைன் மதிப்புகள் சமம்.
• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமானவை.
• எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}}$

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle \ AD}$ கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

• கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BAD}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle DAC}$ இரண்டும் சமமில்லை.
• சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}}$

கோணங்கள் ${\displaystyle \angle BDA}$ மற்றும் ${\displaystyle \angle ADC}$ இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}}$

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.

நிறுவல்-மாற்றுமுறை

• ${\displaystyle \triangle ABD}$ -க்கு, உச்சி ${\displaystyle \ B}$ வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி B₁ என்க. ${\displaystyle \triangle ACD}$ -க்கு, உச்சி ${\displaystyle \ C}$ வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி C₁ என்க.
• ${\displaystyle \triangle }$ DB₁B மற்றும் ${\displaystyle \triangle }$ DC₁C இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள்.
• ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle \ BC}$ -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள் ${\displaystyle \angle }$ B₁DB மற்றும்

${\displaystyle \angle }$ C₁DC இரண்டும் சர்வசமமாகவும்

• ${\displaystyle \ D}$ புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle \ BC}$ -ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
• எனவே முக்கோணங்கள், ${\displaystyle \triangle }$ DB₁B மற்றும் ${\displaystyle \triangle }$ DC₁C இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

• A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
• Proof of angle bisector theorem at PlanetMath
• Another proof of angle bisector theorem at PlanetMath