ஏது மூலம், மாடுலோ p

எல்லா முழு எண்களின் வளையம் ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ என்று குறிக்கப்படும். ${\displaystyle p}$ ஒரு பகா எண் ஆனால் ${\displaystyle p\mathbf {Z} }$ , தாய்வளையம் ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ இன் ஒரு உள்வளையம். ${\displaystyle {\frac {Z}{p\mathbf {Z} }}}$ எச்சவகைகளின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு களமாகிறது. இக்களத்தை ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$ என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ என்று குறிப்பிட்டு அதை பெருக்கல் குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின் பிறப்பி ஒவ்வொன்றும், ஏது மூலம், மாடுலோ p எனப்படுகிறது. இதையே ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ இன் ஏது-உறுப்பு என்றும் சொல்வதுண்டு.

• 2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,

${\displaystyle 2^{1}=2=2(mod5);2^{2}=4=4(mod5);2^{3}=8=3(mod5);2^{4}=16=1(mod5).}$

மற்றும்

${\displaystyle 3^{1}=3=3(mod5);3^{2}=9=4(mod5);3^{3}=27=2(mod5);3^{4}=81=1(mod5).}$

• ${\displaystyle \mathbf {Z} _{7}}$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு ${\displaystyle a}$ க்கும் ${\displaystyle a^{n}}$ இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:

${\displaystyle {\frac {n\rightarrow }{a\downarrow }}}$	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	1	2	4	1
3	3	2	6	4	5	1
4	4	2	1	4	2	1
5	5	4	6	2	3	1
6	6	1	6	1	6	1

இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது 3 ம் 5 ம் ${\displaystyle \mathbf {Z} _{7}^{*}}$ க்கு பிறப்பிகள். அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.

• ஒவ்வொரு ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.
• காஸ் இன் தேற்றம்: ${\displaystyle p\neq 1}$ ஒரு பகா எண்ணாகவும், ${\displaystyle \alpha }$ ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், ${\displaystyle m=1,2,4,p^{\alpha },2p^{\alpha }}$ க்கு கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ ${\displaystyle m}$ இருக்கும்.
• ${\displaystyle q}$ ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, ${\displaystyle p=4q+1}$ ஆக இருந்தால், ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.
• ${\displaystyle p}$ ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$ இலும், அதனில் அடங்கிய எந்த பகா எண் ${\displaystyle a}$ க்கும்,

${\displaystyle a^{p-1}=1(modp).}$

இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் (Fermat's Little Theorem)என்று பெயர். ${\displaystyle a}$ ஓர் ஏது மூலமாகவும் இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால்,

${\displaystyle p-1}$ ஐ விட சிறிய ${\displaystyle n}$ க்கு ${\displaystyle a^{n}\neq 1(modp).}$

• p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்

5, 13, 29, 53 மட்டுமே.

• p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}^{*}}$ க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:

7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே.

10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை மீள்வரு தசம பின்னங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.

p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன் ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.

• 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,

a ஒரு வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.

இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோளின் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல் ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் யூகமும் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.

• சமானம், மாடுலோ n