பெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்

இந்நிறுவல் உய்த்தறிதல் முறையில் செல்லும். ${\displaystyle p|n^{p}-n}$ என்பது தேற்றம். ${\displaystyle n=1}$ க்கு நிச்சயமாக இது உண்மை; ஏனென்றால்,${\displaystyle 1^{p}-1=0,p}$ ஆல் வகுபடுகிறது. இப்பொழுது ${\displaystyle p|n^{p}-n}$ என்பது உண்மையானால்

${\displaystyle p|(n+1)^{p}-(n+1)}$

என்று காட்டவேண்டும்.

${\displaystyle (n+1)^{p}-(n+1)}$

${\displaystyle =n^{p}-n+\sum _{i=1}^{i=(p-1)}{\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}}$

இது ${\displaystyle p}$ ஆல் வகுபடுகிறது; ஏனென்றால், உய்த்தறிதல் கருதுகோளினால் ${\displaystyle n^{p}-n,p}$ ஆல் வகுபடுகிறது; மற்றும், ஒவ்வொரு ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}}$ ம் ${\displaystyle p}$ ஆல் வகுபடுகிறது.

இந்நிறுவல் எண்களின் சமான உறவுக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது.முதலில் உ.பொ.கா(n,p) = 1 என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,

${\displaystyle n,2n,3n,...,(p-1)n}$ (*)

என்ற தொடரைப் பார். இதனில் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் மாடுலோ ${\displaystyle p}$ சமானமல்ல; ஏனென்றால்,

${\displaystyle i\times n\equiv k\times n(modp)}$ என்றால் ,

${\displaystyle i\equiv k(modp)}$ ; அ-து, ${\displaystyle i=k}$

இதனால் (*) இலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் ${\displaystyle 1,2,3,...,(p-1)}$ இல் வெவ்வேறு எண்களுக்கு, அதுவும் ஒரே ஒரு எண்ணுக்கு சமானமாக இருக்கும். இந்த சமானங்களின் பெருக்குத்தொகை

${\displaystyle n^{p-1}.1.2.....(p-1)\equiv 1.2.3....(p-1)(modp)}$

${\displaystyle (p-1)!}$ ம் ${\displaystyle p}$ ம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாதலால் நமக்குக் கிடைப்பது

${\displaystyle n^{p-1}\equiv 1(modp)}$

இதிலிருந்து, ${\displaystyle n^{p}\equiv n(modp).}$

இந்நிறுவல் சேர்வியல் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது. ${\displaystyle p}$ மணிகள் கொண்ட மணிமாலைகளைக்கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு மணியும் ${\displaystyle n}$ நிறங்களில் கிடைப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இவைகளைக்கொண்டு நாம் ${\displaystyle n^{p}}$ மாலைகள் உண்டாக்கலாம். அவைகளில் எல்லா மணிகளும் ஒரே நிறமாக உள்ள மாலைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle n}$ . மீதமுள்ள ${\displaystyle n^{p}-n}$ மாலைகளைப் பார்ப்போம். இவைகளில் ஒவ்வொன்றும் அவைகளைப் போலவே உள்ள மற்ற சில மாலைகளின் சுழல்மாற்றம் தான். சுழல்மாற்றத்தின் மூலம் ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இருக்கக்கூடிய மாலைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle p}$ . இதனால்(சுழல் சமான மில்லாத) தனித்துவம் வாய்ந்த மாலைகளின் எண்ணிக்கை

${\displaystyle (n^{p}-n)\div p.}$

இது ஒரு முழு எண்ணாதலால் ${\displaystyle n^{p}-n,p}$ ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

இத்தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையல்ல என்பதற்கு ஒரு மாற்றுக்காட்டு:

${\displaystyle 2^{341}-2=2(2^{340}-1)=2(({2^{10})}^{34}-1^{34})=2(2^{10}-1)(.....)=2.3.341.(....)}$

இதனால் ${\displaystyle 2^{341}-2}$ ஐ 341 சரியாக வகுக்கிறது. ஆனாலும் 341 ஒரு பகா எண்ணல்ல; ஏனென்றால், ${\displaystyle 341=31\times 11.}$

சமான உறவு