எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்

${\displaystyle a}$ என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், ${\displaystyle n}$ என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, ${\displaystyle a}$ (mod ${\displaystyle n}$ ) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு ${\displaystyle a}$ (mod ${\displaystyle n}$ ) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: ${\displaystyle [a]_{n}}$ . ஆக,

• ${\displaystyle [a]_{n}=\{x\in \mathbf {Z} :x\equiv a(modn)\}}$

கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.

7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:

${\displaystyle [0]_{7}}$ = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}

${\displaystyle [1]_{7}}$ = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...}

${\displaystyle [2]_{7}}$ = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...}

${\displaystyle [3]_{7}}$ = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...}

${\displaystyle [4]_{7}}$ = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...}

${\displaystyle [5]_{7}}$ = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...}

${\displaystyle [6]_{7}}$ = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}

இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:

${\displaystyle \{[0]_{7},[1]_{7},[2]_{7},[3]_{7},[4]_{7},[5]_{7},[6]_{7}\}}$

இதை மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம் என்று சொல்வோம். குறியீடு ${\displaystyle \mathbf {Z} _{7}}$ . இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:

2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, ${\displaystyle [2]_{7}}$ . இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது ${\displaystyle [2]_{7}=[9]_{7}}$ . உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்

... ${\displaystyle [-5]_{7}=[2]_{7}=[9]_{7}}$ = .....

... ${\displaystyle [-21]_{7}=...=[0]_{7}....}$

இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு ${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.

இப்பொழுது ${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.

${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ இலுள்ள ${\displaystyle [a]_{n}}$ என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,

ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி ${\displaystyle [b]_{n}}$ க்கு, ${\displaystyle [a]_{n}\times [b]_{n}=[0]_{n}}$

${\displaystyle [a]_{n}}$ (அதனால் ${\displaystyle [b]_{n}}$ ம்) ஒரு சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle [2]_{6}\times [3]_{6}=[0]_{6}}$

${\displaystyle \therefore [2]_{6}}$ ம் ${\displaystyle [3]_{6}}$ ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.

${\displaystyle [a]_{n}\times [b]_{n}=[1]_{n}}$ ஆக இருக்குமானால், ${\displaystyle [a]_{n}}$ ம் ${\displaystyle [b]_{n}}$ ம் ஒன்றுக்கொன்று பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle [3]_{7}\times [5]_{7}=[1]_{7}}$

${\displaystyle \therefore [3]_{7}}$ ம் ${\displaystyle [5]_{7}}$ ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.

• ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,

[${\displaystyle a]_{n}}$ க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

• ${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
• ${\displaystyle n}$ ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:

${\displaystyle n}$ ஒரு பகா எண் (prime number).

${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ இல் ${\displaystyle [0]_{n}}$ ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.

${\displaystyle \mathbf {Z} _{n}}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

• சமான உறவு (கணிதம்)