ஈருறுப்புப் பரவல்

பொதுவாக, சமவாய்ப்புள்ள மாறி K, n மற்றும் p அளவுருக்களைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைத் தழுவுமானால், அதை K ~ B(n , p) என எழுதுகிறோம். n நிகழ்வில் மிகச்சரியாக k வெற்றிபெரும் நிகழ்தகவு, நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் கிடைக்கிறது:

${\displaystyle \Pr(K=k)=f(k;n,p)}$

${\displaystyle \Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

k = 0, 1, 2, ..., n என்னும் போதும்

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

ஈருறுப்பு குணகம் எனில், (எனவே பரவல் இப்பெயர் பெற்றுள்ளது) "n தேர்ந்தெடு k ", C (n , k ), _{n C k .} , அல்லது ⁿ C _k . எனவும் குறிக்கப்படுகிறதோ அங்கு._{சூத்திரத்தை கீழ்வருமாறு புரிந்துகொள்ளலாம்: நமக்கு k வெற்றிவாய்ப்பும் (p ^k ) மற்றும்n − k தோல்விவாய்ப்பும் (1 − p )^{n − k} தேவை. இருப்பினும், k வெற்றிவாய்ப்பு n நிகழ்வில் எங்குவேண்டுமானாலும் ஏற்படலாம், மற்றும் n தொடர்நிகழ்வில்k வெற்றிவாய்ப்பு C(n , k ) வெவ்வேறான வழிகளில் உள்ளன.}

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை n /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. k > n /2 ஆக இருப்பதால், நிகழ்தகவு அதன் நிரப்பியால் கணக்கிடப்படக்கூடும்

${\displaystyle f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!}$

எனவே, வேறு ஒரு k மற்றும் வேறு ஒரு p ஐ தேடவேண்டும் (பொதுவாக ஈருறுப்பு சமச்சீர் உடையதல்ல). இருப்பினும், அதன் இயல்பு தன்னிச்சையானதாக இல்லை. பின்வரும் சமன்பாட்டுக்கு இணக்கமான m எனும் ஒரு முழு எப்போதும் உள்ளது

${\displaystyle (n+1)p-1}$

k ன் ஒரு சார்பாக, ƒ (k ; n , p ) எனும் கோவை, (n + 1)p ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமின்றி, k < m க்கு அதிகரிக்கும் ஒருபாங்காகவும் k > m க்கு குறையும் ஒருபாங்காகவும் அமைகிறது. இந்நிகழ்வில், m = (n + 1)க்கு p மற்றும்m − 1 ஆகிய இரண்டு பெரும அளவுகள் உள்ளன. m என்பது பெர்னௌலி நிகழ்வின் மிகை நிகழ் (நிகழ்வதற்கான அதிக வாய்ப்பு) வெளியீடுகளாக உள்ளன. அதன் நிகழ்தகவு ஓரளவு குறைவாக இருக்கும் என்பதைக் கவனியுங்கள்.

சேர்ப்பு பரவல் சார்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படலாம்:

${\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.}$

${\displaystyle \scriptstyle \lfloor x\rfloor \,}$ \scriptstyle \lfloor x\rfloor\, என்பது x க்குக் கீழே உள்ள "தரை" என்னும் பட்சத்தில், அதாவது x க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

கீழ்க்கண்டவாறு அது சீராக்கப்பட்ட முடிவுறா பீட்டா சார்பு வடிவத்தில் கூட குறிக்கப்படலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}}$

k ≤ np க்கு, பரவ சார்பின் கீழ் முனையின் மேல் எல்லைகள் காணப்படலாம். குறிப்பாக, ஹோயஃப்டிங்கின் அசமன்பாடு எல்லையைக் கொடுக்கிறது

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2{\frac {(np-k)^{2}}{n}}\right),\!}$

மேலும் செர்னாஃப்பின் அசமன்பாடு எல்லையைக் காண பயன்படுத்தப்படலாம்.

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-{\frac {1}{2\,p}}{\frac {(np-k)^{2}}{n}}\right).\!}$

அதுமட்டுமின்றி, p = 1/2 ஆக இருக்கும்போது, எல்லா k ≥ 3n/8 [1] களும் தொடரும் கோவைக்குப் பொருந்துவதால், இவ்வெல்லைகள் ஓரளவு இறுக்கமாக உள்ளன.

${\displaystyle F(k;n,1/2)\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-{\frac {16(n/2-k)^{2}}{n}}\right).\!}$

மாறுபாடு --க்குச் சமம் எனக் காட்டமுடியும் (பார்: மாறுபாடு கணக்கிட சூத்திரம்):

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.}$

இச்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது X ²ன் எதிர்நோக்கும் மதிப்பும் தெரிந்திருக்கவேண்டும் என்பது புலனாகிறது:

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot \operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

சராசரியைக் காண நாம் மேற்கொண்ட அனுபவத்தை பயன்படுத்திக்கொள்ளலாம். k ன் ஒரு காரணியை எவ்வாறு காண்பது என நமக்குத்தெரியும். இது முடிந்த அளவுக்கு நமக்கு கிடைக்கிறது

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=np\cdot \sum _{s=0}^{m}k\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}=np\cdot \sum _{s=0}^{m}(s+1)\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}}$

(மீண்டும், m = n − 1 and s = k − 1 உடன்). கணக்கினை இரண்டு தனித்தனிக் கணக்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொன்றையும் தனிக்கணக்காகப் பார்க்கிறோம்

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=np\cdot {\bigg (}\sum _{s=0}^{m}s\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}+\sum _{s=0}^{m}1\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}{\bigg )}.}$

முதல் கணக்கு, சராசரி (மேலே) கணக்கிட்ட கணக்கோடு அமைப்பில் ஒப்புமை உடையது. அது mp ன் கூடுதலை கொடுக்கிறது. இரண்டாவது கணக்கு ஒன்று.

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=np\cdot (mp+1)=np((n-1)p+1)=np(np-p+1).}$

இம்முடிவினை கோவையில் மாறுபாடு காண பயன்படுத்தும்போது, சராசரியுடன் (E(X ) = np ), நமக்குக் கிடைக்கிறது

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=np(np-p+1)-(np)^{2}=np(1-p).}$

நம்மிடம் இருப்பது

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot \operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

ஆனால்

${\displaystyle k^{2}=k(k-1)+k.\,}$

எனவே

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{2})&amp;=\sum _{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=0}^{n}k(k-1){n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=2}^{n}n(n-1){n-2 \choose k-2}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}n{n-1 \choose k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=0}^{n-2}n(n-1){n-2 \choose k}p^{k+2}(1-p)^{(n-2)-k}+\sum _{k=0}^{n-1}n{n-1 \choose k}p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}\\&amp;=n(n-1)p^{2}\underbrace {\sum _{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}p^{k}(1-p)^{(n-2)-k}} _{=1}+np\underbrace {\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}} _{=1}\\&amp;=n(n-1)p^{2}+np\\&amp;=n^{2}p^{2}-np^{2}+np.\end{aligned}}}$

ஆகவே

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=(n^{2}p^{2}-np^{2}+np)-n^{2}p^{2}=np(1-p).}$

X ~ B(n , p ) மற்றும் Y ~ B(m , p) தனித்தனி ஈருறுப்பு மாறிகளானால், மீண்டும் X + Y ஒரு ஈருறுப்பு மாறி; அதன் பரவல்

${\displaystyle X+Y\sim B(n+m,p).\,}$

பெர்னௌலி பரவல்என்பது n = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, X ~ B(1, p) என்பது X ~ பெர்ன்(p )ன் பொருளுடையதுதான்.

n = 6 மற்றும் p = 0.5 எனும் மதிப்புக்கு ஈருருப்பு PDF மற்றும் இயல்பு தோராயம்

n பெரிய அளவில் இருப்பின், பரவலின் ஒரேதளத்தில் அமையாத் தன்மை மிகப் பெரிய அளவில் இல்லை. இதில், பொருத்தமான தொடர் திருத்தம் பயன்படுத்தப்பட்டால், B(n , p)க்கு ஒரு சிறந்த தோராயம் இயல்நிலைப் பரவல் வாயிலாக கிடைக்கிறது.

${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)).}$

பொதுவாக n அதிகரிக்கும்போது தோராயம் சிறப்பெய்துகிறது, மேலும் p ஆனது 0 அல்லது 1.[6] க்கு அருகில் உள்ளபோது தன்மை கூடுகிறது. n போதுமான அளவு பெரிய அளவில் உள்ளதா மற்றும் கடை நிலையான பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றிலிருந்து p மிகவும் விலகியுள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, பல கட்டைவிரல் விதிகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

• np மற்றும் n (1 − p) 5 ஐ விட பெரியதாய் இருக்கவேண்டும் என்பது ஒரு விதி. எனினும், கொடுக்கப்படும் விவரங்களுக்கேற்பவும் மேலும் எந்த அளவு சிறந்த தோராயம் தேவைப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தும் குறிப்பிடும் எண் மாறுபடுகிறது.
• மற்றொரு கட்டைவிரல் விதி ${\displaystyle n>5}$ இயல்நிலை தோராயம் போதுமானதாக இருப்பின்[6] என்பதற்கானது.

${\displaystyle \left|{\frac {1/{\sqrt {n}}}{{\sqrt {(1-p)/p}}-{\sqrt {p/(1-p)}}}}\right|}$

• அதன் சராசரியின் 3 திட்ட விலக்கத்திற்குள் உள்ள ஒவ்வொன்றும் வாய்ப்புள்ள மதிப்புகளின் வீச்சிற்குள் இருந்தால் மட்டுமே மேற்குறிப்பிட்ட இயல்நிலைத் தோராயம் பொருத்தமானது என்பதற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு விதி பொருந்தும், அதாவது

${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in [0,n].\,}$

• பொதுவாக தோராயம் அதிகரிக்கும்போது, மாறுதல் செய்யும் இடங்கள் தோன்றுகின்றன என்பதைக் காட்ட முடியும்.

${\displaystyle np\pm {\sqrt {np(1-p)}}}$

தொடர் திருத்தம் செய்வதற்கான ஒரு உதாரணம் வருமாறு: ஒருவர் X எனும் ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறியின் Pr(X ≤ 8)ஐ கணக்கிட விரும்பினால். Y ல் இயல்நிலை தோராயத்தால் கொடுக்கப்பட்ட பரவல் இருந்தால், பின்பு Pr(Y ≤ 8.5) ஆல் . Pr(X ≤ 8) தோராயப்படுத்தப்படுகிறது. 0.5 ஐ சேர்த்தல் தொடர் திருத்தம்; திருத்தப்படாத இயல்நிலை தோராயம் மிகச் சரியான முடிவைவிட குறை தன்மையுள்ள முடிவைக் கொடுக்கிறது.

டி மாய்வர்-லேப்லஸ் தேற்றம் எனப்படும் இத்தோராயம், அதிக நேரத்தை மிச்சப்படுத்துவது (மிகப்பெரிய n உள்ளவற்றில் மிகச்சரியாகக் கணக்கிடுதல் கடினம்); வரலாற்றுரீதியாக, 1738ல் ஆப்ரஹாம் டி மாய்வரின் புத்தகமான தெ டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ் ல் இயல்நிலை பரவலில் முதன்முதலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. B(n , p ) என்பது p அளவுருவோடு சீராக பரவலிடப்பட்ட பெர்னௌலி மாறிகள்ன் n சார்பற்றவைகளின் கூடுதல் எனும் காரணத்தால், தற்காலத்தில், அது மைய எல்லை தேற்றம் விளைவாகத் தோன்றியது என அறியலாம்.

உதாரணத்திற்கு, அதிக மக்கள்தொகையிலிருந்து n மக்கள் மாதிரியை நீங்கள் எடுத்துக்கொண்டு, அவர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கருத்தோடு ஒத்துப்போகிறார்களா என அவர்களைக் கேட்டல். ஒத்துப்போகின்ற மக்கள் விகிதம் நிச்சயம் மாதிரியைச் சார்ந்தமையும். நீங்கள் n மக்கள் குழுக்களை திரும்பத்திரும்பவும், உண்மையில் சமவாய்ப்புள்ளதாகவும், மாதிரிகளாக எடுத்துக்கொண்டால், விகிதங்களானவை, p மக்கள்தொகையோடு ஒத்துப்போகின்ற உண்மையான விகிதத்திற்குச் சமமான சராசரி மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = (p (1 − p )/n )^1/2 என உள்ள தோராய இயல்நிலை பரவலை நோக்கிச் செல்லும். அதிக அளவிலான மாதிரி அளவுகள் n சிறந்தவை, ஏனெனில் எதிர்நோக்கும் மதிப்பின் விகிதமான திட்டவிலக்கம், தெரியாத அளவுரு p ன் மிகச்சரியான மதிப்பீட்டைக் கொடுத்து, குறைவுபடுகிறது.

ஈருறுப்பு பரவல், np பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை அளவிலியை நோக்கிச் செல்லும்போது, பாய்ஸான் தோராயம் நோக்கி குவிகிறது. ஆகையால், λ = np எனும் அளவுருவுள்ள பாய்ஸான் பரவல், n போதிய அளவு பெரிதாகவும் p போதிய அளவு சிறியதாகவும் இருப்பின் ஈருறுப்பு பரவலின் B(n , p)க்கு ஒரு தோராய அளவாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். கட்டைவிரல் விதிகள் இரண்டின்படி, n ≥ 20 மற்றும் p ≤ 0.05, அல்லது n ≥ 100 அல்லது np ≤ 10.[7] என்றிருந்தால், இத்தோராயம் சிறந்தது.