இணைகரத்திண்மம்

ஒரு இணைகரத்தின்மத்தின் மூன்று சோடி இணையான முகங்களில் எந்தவொன்றையும் அடிப்பாகமாகக் கொள்ளலாம்.

நான்கு இணையான பக்கங்கள் கொண்ட மூன்று தொகுதிகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் உள்ள நான்கு பக்கங்களும் சம நீளமுள்ளவையாக இருக்கும்.

கனசதுரத்தின் நேரியல் உருமாற்றமாக இணைகரத்திண்மம் அமைகிறது.

மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மம்.

ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, அதன் அடிப்பக்க முகத்தின் பரப்பு A மற்றும் அதன் உயரம் h -ன் பெருக்குத்தொகை. இணைகரத்திண்மத்தின் ஆறுமுகங்களில் எந்தவொன்றையும் அடிப்பாகமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். அடிப்பக்க முகத்திற்கும் அதன் எதிர்முகத்திற்கும் இடையே உள்ள செங்குத்து தூரம் இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்.

மாற்று முறை:

வெக்டர்கள் a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) மற்றும் c = (c₁, c₂, c₃) ஆகிய மூன்றும் ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் ஒரு முனை விளிம்புகளாக அமைந்தால் அந்த இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, இம்மூன்று வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் a · (b × c) -ன் தனிமதிப்பாகும்:

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}$

b மற்றும் c -இரண்டையும் இணைகரத்திண்மத்தின் அடிப்பக்க இணைகரத்தின் அடுத்துள்ள விளிம்புகளாகக் கொண்டால், குறுக்குப் பெருக்கத்தின் வடிவவியல் விளக்கத்தின்படி:

A = |b| |c| sin θ = |b × c|,

இங்கு θ , b மற்றும் c -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்:

h = |a| cos α,

இங்கு α , a மற்றும் h -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள உட்கோணம்.

படத்திலிருந்து கோணம் α -ன் மதிப்பு: 0° ≤ α < 90°.

மாறாக வெக்டர் b × c , a வெக்டருடன் உருவாக்கும் கோணம் β , 90°-ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கலாம்:

(0° ≤ β ≤ 180°).

b × c , h -க்கு இணையாக அமைவதால்:

β = α அல்லது β = 180° − α.

ஃ cos α = ±cos β = |cos β|,

h = |a| |cos β|.

எனவே இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு:

V = Ah = |a| |b × c| |cos β|,

திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வரையறைப்படி, மேலுள்ள கனஅளவு a · (b × c) -ன் தனிமதிப்பிற்குச் சமம்.

${\displaystyle V=\left|a.(b\times c)\right|.}$

இத்திசையிலிப் முப்பெருக்கத்தின் தனிமதிப்பை அணிக்கோவையின் தனிமதிப்பாகவும் பின்வருமாறு தரலாம்:

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$

a, b, மற்றும் c -இணைகரத்திண்மத்தின் விளிம்புகளின் நீளங்கள்; α, β, மற்றும் γ -விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள உட்கோணங்கள் எனில், இணைகரத்திண்மத்திண்மத்தின் கன அளவு:

${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}.}$

சமச்சீர் தளம் கொண்ட இணைகரத்திண்மங்களில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

• நான்கு செவ்வக முகங்கள் கொண்டவை.
• இரண்டு சாய்சதுர முகங்களுடன் ஏனைய நான்கு முகங்களில் அடுத்துள்ள இருமுகங்கள் கொண்ட சோடிகள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று கண்ணாடி பிம்பங்களாக அமையும்.

ஒரு கனசெவ்வகமானது, செவ்வக முகங்கள் கொண்ட இணைகரத்திண்மமாகும். ஒரு கனசதுரமானது, சதுர முகங்கள் கொண்ட கனசெவ்வகமாகும்.

ஒரு சாய்சதுரத்திண்மமானது, சாய்சதுர முகங்கள் கொண்ட இணைகரத்திண்மமாகும். மூன்றுகோண பட்டமுகத்திண்மமானது சர்வசம சாய்சதுர முகங்கள் கொண்ட சாய்சதுரத்திண்மமாகும்.

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973. (He define parallelotope as a generalization of a parallelogram and parallelepiped in n-dimensions.)

• Eric W. Weisstein, Parallelepiped MathWorld இல்.
• Eric W. Weisstein, Parallelotope MathWorld இல்.
• Paper model parallelepiped (net)