இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளங்களாக ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ ஆகியவை இருக்கட்டும். பக்கம் ${\displaystyle a}$ என்னும் பக்கத்தில் விழும் விழுகோட்டின் நீளமாக ${\displaystyle d}$ என்பது இருக்கட்டும். விழுகோடு ${\displaystyle d}$ , பக்கம் ${\displaystyle a}$ யை இருபகுதியாகப் பகுத்து அவற்றின் நீளங்கள் ${\displaystyle m}$ மற்றும் ${\displaystyle n}$ ஆக இருந்தால், இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம் என்ன சொல்கின்றது என்றால்,

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,}$

அப்பொலோனியசின் தேற்றம் என்பது இந்த விழுகோடு d என்பது முக்கோணத்தின் நடுகோடாக இருக்கும் பொழுது உண்மையாகும் இசுட்டுவர்ட்டின் ஒரு தனி வகை.

இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்ற நிறுவலுக்கான படம்

இத்தேற்றத்தைக் கோசைன் விதி கொண்டு நிறுவலாம்:[2]

θ ("தீட்டா") என்பது m, d ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமாகவும், θ′ ("தீட்டா கொட்டு") என்பது n, d ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமாகவும் இருக்கட்டும். இப்பொழுது θ′ என்பது θ வின் துணைக்கோணம் (θ′ = 180° - θ) , ஆகவே cos θ′ = −cos θ. இவ்விரு கோணங்களுக்குமான (θ, θ′) கோசைன் விதி:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

முதல் சமன்பாட்டை n ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது சமன்பாட்டை m ஆல் பெருக்கிக் கூட்டியபின் cos θ ஐ மாற்றீடு செய்து விலக்கினனல், கிட்டுவது:

${\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}}$

இதுவே நிறுவவேண்டிய முடிவு.

மாற்று வழியாகவும் நிறுவலாம். முக்கோணத்தின் முனையில் இருந்து செங்குத்துக்கோடு ஒன்றை வரைந்து, பித்தேகோரசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி b, c, d ஆகிய மூன்றின் நீளத்தையும் செங்குத்துக்கோட்டின் நீளத்தோடு தொடர்புபடுத்தி எழுதலாம். பின்னர் இப்படி பெறும் சமன்பாட்டின் இருபக்கமும் மேலே உள்ள சமன்பாட்டுக்கு ஈடாகிவிடும்[3]

• நிறை நடுப்புள்ளி வடிவவியல்

1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.
3. இது இரசல் நூலில் உள்ள நிறுவல் முறை.

• Hutton, C.; Gregory, O. (1843). A Course of Mathematics. II. Longman, Orme & co.. பக். 219. http://books.google.com/books?id=9-4GAAAAYAAJ&pg=PA219#v=onepage.
• Weisstein, Eric W., "Stewart's Theorem", MathWorld.
• Stewart's Theorem at PlanetMath.
• Proof of Stewart's Theorem at PlanetMath.
• Russell, John Wellesley (1905). "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. http://books.google.com/books?id=r3ILAAAAYAAJ.