গ্রুপ (গণিত)

গণিতের পরিভাষায় গ্রুপ হল এমন একটি সেট, ${\displaystyle G=\{g_{1},g_{2},\ldots \}}$, যার সাথে একটি বাইনারি অপারেশান (${\displaystyle \circ }$ )যুক্ত আছে বলে বিবেচনা করা হয়, এবং যার উপাদান, ${\displaystyle g_{i}}$ গুলো ওই বাইনারি অপারেশান এর স্বাপেক্ষে নির্দিষ্ট কিছু গাণিতিক নিয়ম বা অ্যাক্সিওম মেনে চলে। অ্যাক্সিওম গুলি হলঃ

এই রুবিক 'স কিউবের হাতের কৌশল রুবিক' স কিউব গ্রুপ তৈরি করে।

১. ক্লোজার প্রপার্টি
যেকোনো ${\displaystyle g_{i},g_{j}\in G}$ এর জন্য ${\displaystyle (g_{i}\circ g_{j}\in G)}$ হবে। অর্থাৎ, ${\displaystyle G}$ থেকে যেকোন দুটি উপাদান নিয়ে তাদের ভেতর বাইনারি অপারেশানটি ঘটালে যা পাওয়া যাবে, তা আসলে ${\displaystyle G}$ এরই একটি উপাদান হবে। এই নিয়মটিকে ইংরেজিতে Closure Property বলা হয়।

২. অ্যাসোসিয়েটিভিটি
যেকোন ${\displaystyle g_{i},g_{j},g_{k}\in G}$ এর জন্য ${\displaystyle g_{i}\circ (g_{j}\circ g_{k})=(g_{i}\circ g_{j})\circ g_{k}}$ হবে।

৩. আইডেন্টিটি উপাদানের অস্তিত্ব
${\displaystyle G}$ এর মধ্যে এমন একটি উপাদান ${\displaystyle e}$ থাকবেই, যার জন্য যেকোন ${\displaystyle g_{i}\in G}$ এর ক্ষেত্রে ${\displaystyle g_{i}\circ e=e\circ g_{i}=g_{i}}$ হবে। একটি গ্রুপের আইডেন্টিটি উপাদানটি অনোন্য বা ইউনিক।

৪. ইনভার্স উপাদানের অস্তিত্ব
যেকোন ${\displaystyle g\in G}$ জন্য এমন একটি উপাদান, ${\displaystyle g^{-1}\in G}$ পাওয়া যাবে, যাতে করে, ${\displaystyle g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e}$ হয়।

কোন সেট এর উপাদান গুলো এই চারটি অ্যাক্সিওম মেনে চললে সেট-টিকে ওই বাইনারি অপারেশান এর স্বাপেক্ষে গ্রুপ বলা হয়, এবং এটিকে ${\displaystyle (G,\circ )}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।