ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

একটি ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স বা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স এর ধারণা বোঝা যায় যদি আমরা ত্রিমাত্রিক ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ইউক্লিডিয়ান জগতে এর উদারণ দেখি। ত্রিমাত্রিক জগতে n এর মান 0, 1, 2 বা 3 হতে পারে। এখানে একটা ক্রমবর্তী 0-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা বিন্দু P. ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা দিগবর্তী বা সদিক রেখাংশ ${\displaystyle P_{1}P_{2}\,}$ . অর্থাৎ ${\displaystyle P_{1}\,}$ এর সাথে ${\displaystyle P_{2}\,}$ এর সংযোগ কারে রেখা যেটাকে ${\displaystyle P_{1}\,}$ থেকে ${\displaystyle P_{2}\,}$ এর দিকে বিবেচনা করা হবে। দিগবর্তী হবার কারণে ${\displaystyle P_{1}P_{2}\not =P_{2}P_{1}\,}$. যদিও ধরা হবে ${\displaystyle P_{1}P_{2}=-P_{2}P_{1}\,}$ একটা ক্রমবর্তী 2-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটি ত্রিকোনাকার ক্ষেত্র ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}\,}$ যেখানে এই ত্রিভুজের শীর্ষগুলো একটা নির্দিষ্ট ক্রমে অনুসরণ(ট্রাভারস) করা হয়। একারণে ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}\,}$এবং ${\displaystyle P_{2}P_{3}P_{1}\,}$ বা ${\displaystyle P_{3}P_{1}P_{2}\,}$ এর ক্রম একই ধরা হয়। এবং ${\displaystyle P_{3}P_{2}P_{1}\,}$ বা ${\displaystyle P_{1}P_{3}P_{2}\,}$ এদেরকে ধরা হয় বিপরীত ক্রমে। অর্থাৎ, আমরা লিখতে পারি,

${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}=P_{2}P_{3}P_{1}=P_{3}P_{1}P_{2}=-P_{3}P_{2}P_{1}=-P_{1}P_{3}P_{2}=-P_{2}P_{1}P_{3}\,}$

খেয়াল করুন যে, ${\displaystyle P_{i}P_{j}P_{k}}$ এবং ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}}$ সমান হবে যদি

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\i&j&k\end{pmatrix}}}$

একটি জোড় বিন্যাস বা ইভেন পারমুটেশন হয়। এবং ${\displaystyle -P_{1}P_{3}P_{2}\,}$ এর সমান হবে যদি বেজোড় বিন্যাস বা অড পারমুটেশন হয়। এই একই যুক্তিতে একটা ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স ${\displaystyle P_{1}P_{2}\,}$ এর চিহ্ন (ধনাত্বক/ঋনাত্বক) বের করা সম্ভব। লক্ষ্যণীয় যে n = 0, 1, 2... এর জন্য একটা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা n-মাত্রিক বস্তু (বা n - ডাইমেনশনাল অবজেক্ট)

এখান থেকে আমরা ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্সের ধারণা পেতে পারি। একটি ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্স হচ্ছে চারটি ভার্টেক্সের একটা অরডার্ড সিকুয়েন্স বা (ক্রমাত্বক ধারা) ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}$ যারা একটা টেট্রাহেড্রন এর চারটি শীর্ষ যেখানে ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}=\pm P_{i}P_{j}P_{k}P_{l}}$। এখানে চিহ্ন নির্ধারণ হয়,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\i&j&k&l\end{pmatrix}}}$

বিন্যাসটি জোড় না বেজোড় তার উপর ভিত্তি করে।

একই পদ্ধতিতে ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সের ধারণা ${\displaystyle n>3\,}$ মাত্রায় উন্নিত হয়। যেখানে ভার্টেক্স গুলো n-মাত্রিক জগতে একেকটি বিন্দু নির্দেশ করে। এবং তাদের ক্রমের দিক চিহ্ন পূর্বে বর্ণিত বিন্যাস মেট্রিক্স পদ্ধতিতে নির্ধারিত হয়।