কোলাজ অনুমান

যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার জন্য নিচের অপারেশন দুইটি বিবেচনা করা যাক,

• সংখ্যাটি যদি জোড় হয়, তবে তাকে 2 দিয়ে ভাগ কর।
• সংখ্যাটি যদি বিজোড় হয়, তবে তাকে 3 দিয়ে গুণ করে 1 যোগ কর।

গাণিতিক ভাষায় বলতে গেলে,

একটা ফাংশন f এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে,

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}n/2&{\mbox{if }}n\equiv 0\\3n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.}$

এখন এই অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করে একটা অনুক্রম তৈরি করা যাক। অনুক্রমটির প্রথম সংখ্যা যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা n।

${\displaystyle a_{i}={\begin{cases}n&{\mbox{for }}i=0\\f(a_{i-1})&{\mbox{for }}i>0\end{cases}}}$

কোলাজ অনুমান যা বলছে, তা হল এই কার্যপ্রণালী অবশেষে 1 এ গিয়ে পৌঁছুবে, শুরুতে যে সংখ্যাই বিবেচনা করা হোক না কেন।

গণিতের ভাষায় বলতে গেলে,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} >0\ \exists i\in \mathbb {N} :(a_{0}=n\Rightarrow a_{i}=1)}$

অনুমানটি মিথ্যা হলে, এমন কোন সূচনা সংখ্যা পাওয়া যাবে, যার জন্য এমন একটা চক্রাকার অনুক্রম পাওয়া যাবে যেখানে 1 অনুপস্থিত, অথবা অনুক্রমটি সীমাহীন ভাবে বাড়তে থাকেবে। কিন্তু এ জাতীয় কোন অনুক্রমের সন্ধান পাওয়া যায়নি।

End