வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு

{1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}}$

என்றால்,

${\displaystyle \sigma \circ \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&2&5&3\end{pmatrix}}}$

அதாவது, முதலில் ${\displaystyle \tau }$ ; பிறகு ${\displaystyle \sigma }$ . வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. இதை மாற்றிச்சொல்லும் நூல்களும் பழக்கமும் உண்டு. ஆனால், குழப்பமில்லாமலிருப்பதற்காக இக்கட்டுரையில் ஒரே வழி பின்பற்றப்படுகிறது.

${\displaystyle \sigma \circ \tau }$ வை ${\displaystyle \sigma \tau }$ என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

${\displaystyle n}$ பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் ${\displaystyle S_{n}}$ என்று குறிக்கப்படும். இதனில் ${\displaystyle n!}$ வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம் (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது ${\displaystyle n!}$ உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}}$ .

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. ::${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\end{pmatrix}}}$ என்றால் அதன் நேர்மாறு

= ${\displaystyle \sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&3&2&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\\sigma (a_{1})&\sigma (a_{2})&\dots &\sigma (a_{n})\end{pmatrix}}}$ என்ற வரிசைமாற்றத்தை

${\displaystyle a_{1}\rightarrow \sigma (a_{1})\rightarrow \sigma (\sigma (a_{1}))......}$ என்று எழுதும்போது தொடக்கப்பொருளும் முடிவுப்பொருளும் ஒன்றாக இருந்தால் அவ்வரிசைமாற்றம் சுழல் எனப்படும்.

எ.கா.: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&3&4&1&2\end{pmatrix}}}$

இதனில் ${\displaystyle 1\rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1}$ என்ற கணக்கில் பொருள்கள் மாறுகின்றன.

இதே சுழலை எளிதான முறையில் (15234) என்றும் குறிப்பிடலாம். ஆனால் இப்படி எழுதும்போது, இதையே ஐந்து விதமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது கவனத்துக்குரியது. அதாவது,

(15234) = (52341) = (23415) = (34152) =(41523).

வேறு விதமாகச்சொன்னால், ஒரு சுழலை எந்த உறுப்பிலும் தொடங்குவதாகக் காட்டலாம். ஒரு சுழலின் 'நீளம்' என்பது அதனில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையே.

வரிசைமாற்றக் குலத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கிரமம் (Order) உண்டு. ஒரு உறுப்பின் 'கிரமம்' என்பது அதன் எத்தனையாவது அடுக்கு முற்றொருமையாகும் என்பதைச் சொல்வது. ஒரு சுழலின் கிரமம் அதனுடைய நீளத்திற்குச் சமம். ${\displaystyle S_{5}}$ இல் ${\displaystyle \sigma }$ = (15234) இன் கிரமம் 5; ஏனென்றால்

${\displaystyle (\sigma )^{5}=e}$

ஒரே உறுப்புள்ள சுழல், அவ்வொரு உறுப்பை நிலைப்படுத்துகிறது என்று பொருள்.

சுழல்களின் சிறப்புகளில் முக்கியமானது பின்வரும் பண்பு:

${\displaystyle S_{n}}$ இல் முற்றொருமையல்லாத எந்த வரிசைமாற்றத்தையும் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டலாம்.

எ.கா.: ${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\6&4&3&9&1&5&7&2&8\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle (165)(2498)(3)(7)}$

வெட்டாத சுழல்கள் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றக்கூடியது. எ.கா. ${\displaystyle (165)(2498)=(2498)(165)}$

ஒரு வரிசைமாற்றம் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் குறிகாட்டப்பட்டால் அதனுடைய அடுக்குகளையும் நேர்மாறையும் எளிதில் குறிப்பிட்டுவிடலாம்.

எ.கா.: ${\displaystyle \sigma =(3)(7)(165)(2498)}$

${\displaystyle (\sigma )^{-1}=(3)(7)(561)(2894)}$

${\displaystyle (\sigma )^{2}=(3)(7)(156)(48)(92)}$

${\displaystyle (\sigma )^{3}=(3)(7)(1)(6)(5)(4289)}$

${\displaystyle (\sigma )^{4}=(3)(7)(165)(4)(2)(8)(9)}$

${\displaystyle (\sigma )^{5}=(3)(7)(156)(2498)}$

.........

${\displaystyle (\sigma )^{12}=(3)(7)(1)(6)(5)(4)(2)(8)(9)}$ = ${\displaystyle e}$

• வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டப்பட்ட ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கிரமம் அச்சுழல்களின் நீளங்களுடைய அதமப் பொதுமடங்கு.

எ.கா.: (3)(7)(165)(2498) இன் கிரமம் 1,3,4 இவைகளின் அ.பொ.ம. , அதாவது 12.

(23)(1456) இன் கிரமம் 2,4 இவைகளின் அ.பொ.ம., அதாவது 4.

ஒரு வரிசைமாற்றத்தை வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக்குறிகாட்டும்போது அதனில்

நீளம் 1 உள்ள ${\displaystyle \lambda _{1}}$ சுழல்களும்

நீளம் 2 உள்ள ${\displaystyle \lambda _{2}}$ சுழல்களும்

நீளம் 3 உள்ள ${\displaystyle \lambda _{3}}$ சுழல்களும்

......

நீளம் ${\displaystyle k}$ உள்ள ${\displaystyle \lambda _{k}}$ சுழல்களும்

இருக்குமானால், அதனுடைய சுழலமைப்பு

${\displaystyle 1^{\lambda _{1}}2^{\lambda _{2}}3^{\lambda _{3}}...k^{\lambda _{k}}}$

எனப்படும். ஏதாவதொரு ${\displaystyle \lambda }$ 1 ஆக இருந்தால், அந்த 1ஐக் குறிக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.

எ.கா. ${\displaystyle \tau =(3)(7)(561)(2894)}$ . இதன் சுழலமைப்பு ${\displaystyle 1^{2}34}$

தேற்றம்: ஒரே சுழலமைப்புள்ள வரிசைமாற்றங்களின் கிரமங்கள் சமம்.

ஏனென்றால், சுழல்களின் நீளங்களைப் பொருத்தது தான் கிரமம்.

• வரிசைமாற்றம்