வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).

• முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I என்க.
• கோட்டுத்துண்டு AI -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி L -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.
• கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி M என்க.
• I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
• ${\displaystyle ID=r\,}$ .

${\displaystyle \triangle ADI\sim \triangle MBL\,}$ (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$

${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$

${\displaystyle 2Rr=AI\times BL\,}$ ----------------(1)

• ${\displaystyle BI}$ வரைக.

${\displaystyle \triangle BIL}$ -ல்:

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$ --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$

(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)

${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

${\displaystyle BL=IL\,}$ ,

இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:

${\displaystyle 2Rr=AI\times IL}$ --------(2)

• ${\displaystyle OI}$ -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.

${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL}$ ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)

${\displaystyle PI\times QI=2Rr\,}$ -----( (1)-ன் படி)

${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr\,}$ --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$ . ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

• Euler's theorem on MathWorld