வகையிடலின் சங்கிலி விதி

வானூர்தியிலிருந்து ஒருவர் வானில் குதித்த t வினாடிகளுக்குப் பின்,

கடல் மட்டத்திலிருந்து அவருள்ள இடத்தின் உயரம், g(t) = 4000 − 4.9t².

h அலகு உயரத்தில் வளிமண்டல அழுத்தம், f(h) = 101325 e^−0.0001h.

இவ்விரண்டு சார்புகளையும் வகையிட்டும், இரண்டையும் சேர்த்தும் பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

• ${\displaystyle g'(t)=-9.8t}$ இது குதித்தவரின் திசைவேகத்தை t நேரத்தில் தருகிறது.
• ${\displaystyle f'(h)=-10.1325e^{-0.0001h}}$ இது h உயரத்தில், வளிமண்டல அழுத்தத்தின், உயரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதத்தைத் தருகிறது. மேலும் இது கடல் மட்டத்திலிருந்து h மீட்டர் உயரத்தில், குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
• ${\displaystyle (f\circ g)(t)}$ இது குதித்து t வினாடிகள் ஆனபின், குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தமாகும்.
• ${\displaystyle (f\circ g)'(t)}$ இது, குதித்து t வினாடிகளுக்குப்பின் குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தத்தின், நேரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதமாகும். மேலும் இது குதித்து t வினாடிகளுக்குப் பின் குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.

சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle (f\circ g)'(t)=f'(g(t))g'(t).}$

இவ்வாய்ப்பாட்டின்படி மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வளிமண்டல அழுத்தத்தின் மாறுவீதம்:

${\displaystyle (f\circ g)'(t)={\big (}{\mathord {-}}10.1325e^{-0.0001(4000-4.9t^{2})}{\big )}\cdot {\big (}{\mathord {-}}9.8t{\big )}.}$

ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்யெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இவ்விதி எளிய வடிவில் அமைகிறது.

g என்ற சார்பு c புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் (g′(c) உள்ளது), f சார்பு g(c) இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு f ∘ g -ம் c இல் வகையிடத் தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அதன் வகைக்கெழு[2]:

${\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c)}$

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\,}$ எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.

y = f(u), u = g(x) எனில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

வகையிடப்படும் இடங்களைக் குறிப்பிட்டுப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.\,}$

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். f, g, h சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), f சார்புடன் g ∘ h சார்பின் சேர்ப்பாகும். f ∘ g ∘ h சார்பின் வகைக்கெழு காண, f இன் வகைக்கெழுவும் g ∘ h இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். f இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும் g ∘ h இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்.

x = a புள்ளியில்,

${\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))(g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))g'(h(a))h'(a)}$

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a}}$

அல்லது சுருக்கமாக,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle y=e^{\sin {x^{2}}}}$

இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}$

இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}$

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin {x^{2}}}\cdot \cos {x^{2}}\cdot 2x}$

f ∘ g ∘ h சார்பை f ∘ g மற்றும் h சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))h'(a)=f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).}$

இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம்

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)}$ என்பதே.

சில வகையிடல் விதிகளைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி அடையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வகுத்தல் விதியைச் சங்கிலி விதி, பெருக்கல் விதி இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறலாம்.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}}$

பெருக்கல் விதிப்படி இம்முடிவு கிடைத்துள்ளது. இதற்குப்பின் 1/g(x) சார்பானது, g மற்றும் தலைகீழிச் சார்பின் சேர்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு கொண்டு சங்கிலி விதிப்படி வகையிடப்படுகிறது. தலைகீழிச் சார்பு x உடன் 1/x ஐ இணைக்கிறது. 1/x இன் வகைக்கெழு −1/x².

என்வே மேலுள்ள முடிவிற்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},}$

இதுவே வகையிடலின் வகுத்தல் விதியாகும்.

y = g(x) சார்புக்கு, நேர்மாறுச் சார்பு உள்ளது எனில் அதனை f எனக் கொண்டால், x = f(y) ஆகும். f இன் வகைக்கெழுவை, g இன் வகைக்கெழு மூலம் காண முடியும்.

g இன் நேர்மாறுச் சார்பு f என்பதால்,

${\displaystyle f(g(x))=x.}$

எனவே இருபுறமுமுள்ள சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களும் சமமாக இருக்கும். x இன் வகைக்கெழு 1.

${\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1.}$

${\displaystyle f(y)=x}$எனப் பிரதியிட,

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{aligned}}}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle g(x)=e^{x}}$ எனில்,

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு: ${\displaystyle f(y)=\ln y}$

மேலும் வகைக்கெழு,

${\displaystyle g'(x)=e^{x}.}$

எனவே நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு காண மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின்படி:

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}.}$

g , அதன் நேர்மாறு f இரண்டும் வகையிடத் தக்கவையாக இருந்தால் இவ்வாய்ப்பாடு உண்மையாகும். இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்று வகையிடத் தக்கதாக இல்லையெனில் இவ்வாய்ப்பாடு பயனளிக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக,

${\displaystyle g(x)=x^{3}.}$ எனில் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு:

${\displaystyle f(y)=y^{\frac {1}{3}}}$

இச்சார்பு x=0 இல் வகையிடத்தக்கது இல்லை. எனவே சார்பு f இன் வகைக்கெழுவை x=0 இல் மேற்கூறப்பட்ட வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காண முற்பட்டால் 1/0 எனக் கிடைக்கும். இது வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகும். எனவே இங்கு இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.

ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு, சங்கிலி விதியை உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது.

${\displaystyle {\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.}$

${\displaystyle \,u=x^{2}+2y,}$ ${\displaystyle \,x=r\sin(t),}$ ${\displaystyle \,y=\sin ^{2}(t)}$

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\left(2x\right)\left(\sin(t)\right)+\left(2\right)\left(0\right)=2r\sin ^{2}(t)}$

மற்றும்

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}=\left(2x\right)\left(r\cos(t)\right)+\left(2\right)\left(2\sin(t)\cos(t)\right)}$

${\displaystyle =2\left(r\sin(t)\right)r\cos(t)+4\sin(t)\cos(t)=2\left(r^{2}+2\right)\sin(t)\cos(t).}$

ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது.

u = g(x) இன் சார்பாக f இருந்தால் f ∘ g இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(f\circ g)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial f}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial ^{2}g_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k,\ell }{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u_{k}\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial g_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g_{\ell }}{\partial x_{j}}}.}$