முப்படியச் சமன்பாடு

1504 இல் டெல் ஃபெர்ரோ என்ற பொலோனா பல்கலைக்கழகக்கணித ஆசிரியர் , முப்படியத்தில் ${\displaystyle x^{2}}$ இன் கெழுவை ${\displaystyle 0}$ வாக வைத்துக்கொண்டு முப்படியச் சமன்பாட்டிற்கு 'ஒரு' தீர்வு கண்டுபிடித்தார். அதாவது, அவர் எடுத்துக் கொண்ட சமன்பாடு

${\displaystyle x^{3}+px=q;p>0,q>0.\,}$

இதற்கு 'குறைக்கப்பட்ட முப்படியம்' (Depressed Cubic) என்று பெயர்.

டெல்ஃபெரோ ஏதோ ஒர் உள்ளுணர்வில் ${\displaystyle x=u+v}$ என்று வைத்துக்கொண்டார்.

இதை சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்தால், நமக்குக் கிடைப்பது

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)=q.\,}$

மேலும் ஓர் உள்ளுணர்வில், டெல்ஃபெரோ, இதை இரண்டு சமன்பாடாகப் பிரித்தார். அதாவது

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=q\,}$ , மற்றும், ${\displaystyle 3uv+p=0\,}$

இவையிரண்டிலிருந்து,

${\displaystyle u^{6}-qu^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0\,}$

இது ${\displaystyle u^{3}\,}$ என்ற மாறியில் ஒரு இருபடியம். அதனால்,

${\displaystyle u^{3}={\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$

இதில் நேர்ம மூலத்தை எடுத்துக் கொண்டு, ${\displaystyle u\,}$ வைக் கணித்தால்,

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

இப்பொழுது, ${\displaystyle v^{3}=q-u^{3}\,}$ என்பதைப் பயன்படுத்தி

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

ஆக, நாம் எடுத்துக்கொண்ட முப்படியத்திற்குத்தீர்வு

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

மாறாக, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-1}}=-1}$ என்பதால், இக்கோவையிலுள்ள இரண்டாவது உறுப்பில் ஒரு -1 ஐ மூலக்குறிக்கு வெளியில் எடுத்த பிறகு நமக்குக் கிடைப்பது, இதே ${\displaystyle x}$ க்கு இன்னொரு சமானமான கோவை:

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

• Paul J. Nahin. An Imaginary Tale: The story of ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$. Princeton University Press. Princeton, New Jersey