வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி

• ${\displaystyle \,y=x^{2}}$

இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு (${\displaystyle x}$ இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்):

${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$ .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {2x}{2x}}=1.}$

எனினும் x = 0, இல் ஒரு சிக்கல் உள்ளது: வர்க்கச் சார்பின் வரைபடத்தின் கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்தாக அமையும்.

• ${\displaystyle \,y=e^{x}}$

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு (${\displaystyle y}$ இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்)

${\displaystyle \,x=\ln {y}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}$

நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட,

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+c}$

இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள், ${\displaystyle f'(x)}$ இன் மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருக்க வேண்டும்.

இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது.

முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1\quad \quad (1)}$

இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும் ${\displaystyle x}$ ஐப் பொறுத்து வகையிட:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}$ எனப்பிரதியிட,

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}\quad \quad (2)}$ .

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{({\frac {dy}{dx}})^{3}}}\quad \quad (**)}$ . -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு

லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)={\frac {-f''(y)}{[f'(y)]^{3}}}}$

முடிவு (2) ஐ மீண்டும் ${\displaystyle x}$ ஐப் பொறுத்து வகையிட,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}={\frac {{\frac {-d^{3}y}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}}}\quad \quad (***)}$ -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு.

இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.

• ${\displaystyle \,y=e^{x}}$

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,

${\displaystyle \,x=\ln y}$ .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}=y;}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y;}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$ ,

${\displaystyle \,x=\ln y}$ . இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்.