நடுக்கோடு (வடிவவியல்)

ஒவ்வொரு நடுக்கோடும் முக்கோணத்தின் திணிவு மையம் அல்லது நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்கிறது. சீரான அடர்த்தியுடைய முக்கோண வடிவப் பொருட்களுக்கு நடுக்கோட்டுச்சந்திதான் பொருண்மை மையமாக(center of mass) இருக்கும். எனவே அந்தப் பொருளானது நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் எந்தக் கோட்டின்மீதும் சமநிலைப்படும். இதனால் அப்பொருள் நடுக்கோட்டின்மீதும் சமநிலைப்படும்

ஒவ்வொரு நடுக்கோடும் முக்கோணத்தின் பரப்பை இருசமமாகப் பிரிக்கின்றன. இதனால்தான் இவை நடுக்கோடுகள் என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளன. முக்கோணத்தின் பரப்பை இருசமக்கூறிடும் வேறெந்தவொரு கோடும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியே செல்வதில்லை. மூன்று நடுக்கோடுகளும் சேர்ந்து முக்கோணத்தை, சம பரப்புள்ள ஆறு சிறு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றன.

நடுக்கோடுகளின் நீளங்களை அப்பலோனியஸ் தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம்.

இங்கு a, b மற்றும் c -முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள். மேலும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளிலிருந்து வரையப்பட்ட நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் முறையே, m_a, m_b, and m_c எனில்:

${\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}$

${\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}$

${\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}$

பக்க நீளங்களுக்கும் நடுக்கோடுகளின் நீளங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:[1]

${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$

எந்தவொரு முக்கோணத்துக்கும்,[2]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ (சுற்றளவு) < நடுக்கோட்டு நீளங்களின் கூடுதல் < ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ (சுற்றளவு).

பக்க அளவுகள், ${\displaystyle a,b,c}$ மற்றும் நடுக்கோட்டு நீளங்கள், ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$ கொண்ட எந்தவொரு முக்கோணத்திற்கும்:[2]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$

• Medians and Area Bisectors of a Triangle
• The Medians at cut-the-knot
• Area of Median Triangle at cut-the-knot
• Medians of a triangle With interactive animation
• Constructing a median of a triangle with compass and straightedge animated demonstration
• Weisstein, Eric W., "Triangle Median", MathWorld.