சமனிலி (கணிதம்)

• a, b, c எவையேனும் மூன்று மெய்யெண்கள் எனில்:
  • a ≥ b மற்றும் b ≥ c எனில், a ≥ c.
  • a ≤ b மற்றும் b ≤ c எனில், a ≤ c.
  • a ≥ b மற்றும் b > c எனில், a > c
  • a = b மற்றும் b > c எனில், a > c

≤ , ≥ இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று மறுதலை உறவுகள்

• a , b இரண்டும் ஏதேனும் இரு மெய்யெண்கள் எனில்:
  • a ≤ b எனில், b ≥ a.
  • a ≥ b எனில், b ≤ a.

x < y எனில், x + a < y + a.

ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும், ஒரு பொது மாறிலி c ஐக் கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம். அதனால் சமனிலியில் எந்தவொரு மாற்றமும் இராது.

• a, b, c மூன்று மெய்யெண்கள்:
  • a ≤ b, எனில் a + c ≤ b + c மற்றும் a − c ≤ b − c.
  • a ≥ b எனில், a + c ≥ b + c மற்றும் a − c ≥ b − c.

அதாவது கூட்டலின் கீழ் மெய்யெண்களின் கணம் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட குலமாகும்.

x < y மற்றும் a > 0 எனில், ax < ay.

x < y மற்றும் a < 0 எனில், ax > ay.

a, b , c ≠ 0 என்பவை மூன்று மெய்யெண்கள்.

• c > 0 எனில் அதனைக் கொண்டு, ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் பெருக்குவதாலோ அல்லது வகுப்பதாலோ சமனிலியின் தன்மை மாறாது:

a ≥ b , c > 0 எனில், ac ≥ bc மற்றும் a/c ≥ b/c.

a ≤ b , c > 0 எனில், ac ≤ bc மற்றும் a/c ≤ b/c.

• c < 0 எனில் அதனைக் கொண்டு, ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் பெருக்குவதால் அல்லது வகுப்பதால் சமனிலியின் தன்மை நேர்மாறாக மாறும்:

a ≥ b , c < 0 எனில், ac ≤ bc மற்றும் a/c ≤ b/c.

a ≤ b , c < 0 எனில், ac ≥ bc மற்றும் a/c ≥ b/c.

கூட்டல் நேர்மாறின் பண்புகளின்படி:

a , b இரு மெய்யெண்கள். சமனிலியின் இருபுறமும் எதிர்க் குறியிடல் சமனிலியை நேர்மாற்றும்:

a ≤ b எனில், −a ≥ −b.

a ≥ b எனில், −a ≤ −b.

பெருக்கல் நேர்மாறின் பண்புகளின்படி:

• இரண்டும் நேர் எண்கள் அல்லது இரண்டும் எதிர் எண்களாக அமையும் இரு மெய்யெண்கள் a , b எனில்:

a ≤ b எனில், 1/a ≥ 1/b.

a ≥ b எனில், 1/a ≤ 1/b.

• ஒன்று நேர் எண், மற்றது எதிர் எண் என அமையும் இரு மெய்யெண்கள் a , b எனில்:

a < b எனில், 1/a < 1/b.

a > b எனில், 1/a > 1/b.

இவற்றைக் கீழுள்ளவாறு தொடர் குறியீட்டில் எழுதலாம்:

• பூச்சியமற்ற இரு மெய்யெண்கள் a , b :

0 < a ≤ b எனில், 1/a ≥ 1/b > 0.

a ≤ b < 0 எனில், 0 > 1/a ≥ 1/b.

a < 0 < b எனில், 1/a < 0 < 1/b.

0 > a ≥ b எனில், 1/a ≤ 1/b < 0.

a ≥ b > 0 எனில், 0 < 1/a ≤ 1/b.

a > 0 > b எனில், 1/a > 0 > 1/b.

y = ln x இன் வரைபடம்

ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பொன்றை, அச்சார்பின் ஆட்களத்திலமைந்த ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்தும்போது, சமனிலியின் நிலையில் மாற்றம் இருக்காது.

ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பொன்றை, அச்சார்பின் ஆட்களத்திலமைந்த ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்தும்போது, சமனிலியின் நிலை நேர்மாறாக மாறும். நேர் எண்களின் கூட்டல் நேர்மாறு, பெருக்கல் நேர்மாறுகளுக்கான விதிகள், ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பைச் சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

சமனிலி கண்டிப்பானதாகவும் (a < b, a > b), சார்பு கண்டிப்பாக கூடும் சார்பாகவும் இருந்தால், விளைவும் கண்டிப்பான சமனிலியாக இருக்கும். ஏதேனும் ஒன்று மட்டுமே இருக்குமானால் விளைவு, கண்டிப்பற்ற சமனிலியாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• நேர் எண்ணால் அடுக்கேற்றம்

n > 0 ; a , b நேர் மெய்யெண்கள் எனில்:

a ≤ b ⇔ aⁿ ≤ bⁿ.

a ≤ b ⇔ a^-n ≥ b^-n.

• இயல் மடக்கை காணல்

a , b நேர் மெய்யெண்கள் எனில்:

a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b).

a < b ⇔ ln(a) < ln(b).

(இயல் மடக்கை ஒரு ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பு)

• x ஒரு மெய்யெண் எனில்,

${\displaystyle e^{x}\geq 1+x\,}$

• x > 0 எனில்,

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}\,}$

• x ≥ 1 எனில்,

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,}$

• x, y, z > 0 எனில்,

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,}$

• a , b வெவ்வேறான இரு மெய்யெண்கள் எனில்,

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}}$

• x, y > 0 , 0 < p < 1 எனில்,

${\displaystyle (x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}\,}$

• x, y, z > 0 எனில்,

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}\,}$

• a, b > 0 எனில்,

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,}$

• a, b > 0 எனில்,

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,}$

• a, b, c > 0 எனில்,

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,}$

• a, b > 0 எனில்,

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1\,}$

a₁, ..., a_n > 0 எனில்,

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$