ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்

கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:

ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:

ax + by + c = 0, ( a, b , c மெய்யெண்கள். a , b இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது.)

(x₀,y₀) என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,

தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)

இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.

இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு:

${\displaystyle {\frac {n-y}{m-x}}={\frac {b}{a}}\,}$

${\displaystyle a(n-y)-b(m-x)=0,}$

${\displaystyle (a(n-y)-b(m-x))^{2}=0,}$

${\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}-2ab(m-x)(n-y)=0.}$

${\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}=2ab(m-x)(n-y).}$ --------(1)

மேலும்,

${\displaystyle [a(m-x)+b(n-y)]^{2}=a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}+2ab(m-x)(n-y),}$

${\displaystyle a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}-2ab(m-x)(n-y),}$ --------(2)

(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})((m-x)^{2}+(n-y)^{2})=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=(am+bn+c)^{2}.}$

${\displaystyle [(m-x)^{2}+(n-y)^{2}]={\frac {(am+bn+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$ ---------(3)

(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

${\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}}$ ----------(4)

ஃ ${\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)

தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.

S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).

S -லிருந்து ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0

y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:

${\displaystyle |{\frac {c-d}{b}}|=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}$

முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ஆக இருக்கும்.

இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்:

${\displaystyle GF=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}$

இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.

ஃ ${\displaystyle SG={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\,}$

திசையன்கள் மூலம் தரப்படும் விளக்கம்.

கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$

இங்கு n ஒரு அலகு திசையன்.

ஏதாவது ஒரு புள்ளி p-லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.