எல்லைப்புள்ளி (கணிதம்)

நுண்கணிதம் (Calculus) என்ற உட்துறையின் வெற்றி பயக்கும் மேன்மையால் 18, 19வது நூற்றாண்டுகளில் கணிதம் உயர்ந்த அறிவியல் சாதனமாக வளர்ந்தது. இதற்கெல்லாம் வேர்க் கருத்தாக இருந்தது, இன்னும் இருப்பது, ‘எல்லை’ (Limit) என்ற தத்துவம். ஆனால் 20வது நூற்றாண்டில் இடவியலில் ஆராயத் தொடங்கினவுடன் ‘எல்லை’ என்பதைவிட ‘எல்லைப்புள்ளி’ (Limit Point) என்ற தத்துவம் தான் நுண்பியச் சாதனைகளுக்குகந்தது என்று தெரிந்து கொண்டார்கள். இதன் மூலம் கணிப்பியல், அதைவிட நுண்பியமான பகுவியல் (Analysis) இரண்டும் உயர்ந்த நுண்பிய நிலையில் இடவியலில் ‘இடவியல் வெளி’ என்று பரிமளித்தது. ஆக, ‘எல்லைப்புள்ளி’ என்ற தத்துவத்தில் இடவியல் அமைப்பைப் படைப்பது ஒரு முக்கியமான வழி.

மெய்யெண்களிலிருந்து ஒரு கணம் S ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். ஒரு மெய்யெண் a இதற்கு எல்லைப்புள்ளி என்று சொல்லப்பட வேண்டுமானால் a இன் இரு பக்கங்களிலுள்ள ஒவ்வொரு ε-தொலைவிலும் S இலிருந்து ஏதாவது ஒரு எண் s ≠ a இருந்தாக வேண்டும். சுருங்கச் சொன்னால், a இன் ஒவ்வொரு அண்மையிலும் (neighbourhood), S இனுடைய எண்ணற்ற உறுப்புகள் இருக்கவேண்டும்.

எ.கா.:

S = {-1+1/2, 1-1/2, -1+1/3, 1-1/3, -1+1/4. 1-1/4, ……}க்கு இரண்டு எல்லைப்புள்ளிகள் உள்ளன. அவை: -1, மற்றும், 1.

S = {1, 2, 3, 4, …. } க்கு எல்லைப்புள்ளிகளே கிடையாது.

S = {1, ½, 1/3, ¼, ….}க்கு 0 ஒரே ஒரு எல்லைப்புள்ளி. ஒரே ஒரு எல்லைப்புள்ளிதான் என்ற நிலை ஏற்படும்போது அதை ‘எல்லை’ (Limit) என்றே சொல்வார்கள்.