எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்

1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண்ணையும் ஓரேயொரு விதத்தில் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுதலாம்:

${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$

இங்கு p₁ < p₂ < ... < p_k பகாஎண்கள்; α_i நேர்முழுஎண்கள்.

இது n இன் விதிமுறை வடிவம் (canonical representation)[7] அல்லது நியம வடிவம் (standard form)[8][9] எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

999 = 3³×37

1000 = 2³×5³

1001 = 7×11×13

n இன் மதிப்பு மாறாமல், p⁰ = 1 போன்ற காரணிகளை இவ் வடிவினுள் நுழைக்கலாம்.

1000 = 2³×3⁰×5³

இதனால் பூச்சிய அடுக்குகொண்ட எத்தனை பகாக்காரணிகளை சேர்ப்பதன் மூலம், ஒரு நேர் முழுஎண்ணைப் பகாஎண்களின் முடிவிலாப் பெருக்கமாக எழுத முடிகிறது:

${\displaystyle n=2^{n_{2}}3^{n_{3}}5^{n_{5}}7^{n_{7}}\cdots =\prod p_{i}^{n_{p_{i}}}.}$

இதில் n_i இன் முடிவுறு மதிப்புகள் நேர் முழுஎண்களாகவும் மற்றவை பூச்சியமாகவும் இருக்கும். எதிரடுக்கள், நேர் விகிதமுறு எண்களின் விதிமுறை வடிவினைத் தரும்.

எண்களை இவ்வாறு நியம வடிவில் எழுதுவதால், பெருக்கல், மீப்பெரு பொது வகுத்தி காணல், மீச்சிறு பொது மடங்கு காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களை எளிதாகச் செய்ய முடிகிறது:

${\displaystyle a\cdot b=2^{a_{2}+b_{2}}\,3^{a_{3}+b_{3}}\,5^{a_{5}+b_{5}}\,7^{a_{7}+b_{7}}\cdots =\prod p_{i}^{a_{p_{i}}+b_{p_{i}}},}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=2^{\min(a_{2},b_{2})}\,3^{\min(a_{3},b_{3})}\,5^{\min(a_{5},b_{5})}\,7^{\min(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\min(a_{p_{i}},b_{p_{i}})},}$

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=2^{\max(a_{2},b_{2})}\,3^{\max(a_{3},b_{3})}\,5^{\max(a_{5},b_{5})}\,7^{\max(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\max(a_{p_{i}},b_{p_{i}})}.}$

நியம வடிவைப் பயன்படுத்தி பல எண்கணிதச் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, பகாஎண்களின் அடுக்குகளின் மீதான சார்பலன்களின் மதிப்புகளைக் கொண்டு கூட்டல் சார்பு மற்றும் பெருக்கல் சார்பு இரண்டும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

• தனித்தன்மையை நிறுவுவதற்காக, s > 1 என்ற முழுஎண் இருவிதமாகப் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக உள்ளதென அனுமானித்துக் கொள்ளலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}$

• தேற்றத்தின் படி ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் ஒரேயொரு விதத்தில்தான் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும் என்பதை நிறுவ, m = n என்றும் q_j ஆனது p_i க்களின் மாற்றமைப்பு எனவும் காட்டவேண்டும்.

நிறுவற் படிநிலைகள்

• யூக்ளிடின் முற்கோளின்படி, p₁ ஆனது q_j க்களில் ஏதாவது ஒன்றையாவது வகுக்கும்; அதனைக் q₁ எனக் கொள்ளலாம். இப்போது q₁ ஒரு பகாஎண்ணாகவும் உள்ளது, அதேசமயம் p₁ இன் வகுஎண்ணாகவும் உள்ளது எனவே p₁ = q₁ ஆக இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும்.

p₁ = q₁

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}}}&=p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}$

• இதேபோல் p₂ ம் q_j க்களில் ஒன்றாக இருக்கும். p₂ = q₂ எனக் கொள்ள:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}p_{2}}}&=p_{3}\cdots p_{m}\\&=q_{3}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}$

• இதிலிருந்து, ஒவ்வொரு p_i ம் ஏதாவதொரு q_j க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் m ≤ n என்பதையும் அறியலாம்.
• இப்பொழுது ${\displaystyle p}$ க்குப் பதில் ${\displaystyle q}$ வையும் மற்றும் ${\displaystyle q}$ க்குப் பதிலாக ${\displaystyle p}$ வையும் மாற்றிக் கொண்டு இம் முயற்சியைத் தொடர, ஒவ்வொரு q_i ம் ஏதாவதொரு p_j க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் n ≤ m என்பதையும் அறியலாம்.
• எனவே, m = n மற்றும் அனைத்து p_i க்களும் q_i க்களும் சமகாரணிகள்.
• இதனால் ஒரு முழுஎண்ணை ஒரேயொரு விதத்தில் மட்டுமே பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுத முடியும் என்ற தனித்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.