இருபதுமுக முக்கோணகம்

ஒரு சீரான இருபதுமுக முக்கோணகத்தில் உள்ள முக்கோணம் ஒன்றின் நீளம் ${\displaystyle a}$ ஆனால், இந்த திண்மத்தின் 12 முனைகளையும் தொட்டுக்கொண்டு மூடும் உருண்டையின் ஆரத்தைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாடால் (ஈடுகோளால்) அறியலாம்.

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0.9510565163\cdot a}$

அதே போல, இருபது முக்கோண முகங்களையும் தொட்டுக்கொண்டு இத் திண்மத்தின் உள்ளே அமையும் உருண்டையின் ஆரத்தைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாடால் (ஈடுகோளால்) அறியலாம்.

${\displaystyle r_{i}={\frac {\phi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 0.7557613141\cdot a}$

மேலே குறிப்படதில் ${\displaystyle \ \phi }$ என்பது பொன் விகிதம் ஆகும் (சுமார் 1.6) ஆகும்.

மேற்பரப்பு A என்றும் கன அளவு (பரும அளவு) V என்றும் கொண்டால், முக்கோணத்தின் நீளம் a என்று கொண்டு கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டால் பரப்பளவும் கன அளவும் அறியலாம்.:

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$