இடைக்கணிப்பு

உதாரணமாக, இதுபோன்ற அட்டவணை எங்களிடம் உள்ளது எனில், இது தெரியாத சார்பு f இன் சில மதிப்புகளைத் தரும்.

அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளது போல தரவுப் புள்ளிகளின் வரைபு.

இடைக்கணிப்பானது x  = 2.5 போன்ற இடைப்பட்ட புள்ளிகளில் சார்பைக் கணிப்பிடுகின்ற வழியை வழங்கும்.

பல்வேறு இடைக்கணிப்பு முறைகள் உள்ளன, அவற்றுள் சில கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பொருத்தமான நெறிமுறையைத் தேர்வுசெய்யும்போது கருத்திலெடுக்கவேண்டிய சில விஷயங்களாவன: செய்முறை எவ்வளவு துல்லியமானது? எவ்வளவு செலவாகும்? இடைக்கணிப்பிடல் எவ்வளவு சீரானது? எத்தனை தரவுப் புள்ளிகள் தேவைப்படும்?

பீஸ்வைஸ் மாறிலி இடைக்கணிப்பு அல்லது மிகவும் அருகிலுள்ள இடைக்கணிப்பு.

மிகவும் எளிமையான இடைக்கணிப்பு முறை என்பது அருகாமையான தரவு மதிப்பைக் கண்டுபிடித்து, அதே மதிப்பை ஒதுக்குவதாகும். ஒரு பரிமாணத்தில், மிகவும் செலவு குறைந்ததான நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பை விடுத்து இதைத் தேர்வுசெய்வதற்கு எப்போதாவது சிறந்த காரணங்களிருக்கும், ஆனால் உயர் பரிமாணங்களில் பல மாறிகளுடைய இடைக்கணிப்பு, இதன் வேகம் மற்றும் எளிமைத்தன்மை காரணமாக இதுவே விருப்பமான தேர்வாக இருக்கமுடியும்.

மேலும் விதிக்கப்பட்ட நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்புடனான தரவின் வரைபு

மிகவும் எளிமையான முறைகளில் ஒன்று நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு (சிலவேளைகளில் லேர்ப் எனப்படுகிறது) ஆகும். மேலே கூறப்பட்டுள்ள f ஐத் தீர்மானிக்கும் உதாரணத்தை எடுத்துக்கொள்க(2.5). 2.5 என்பது 2 க்கும் 3 க்கும் நடுவில் அமைந்துள்ளது என்பதால், f (2.5) என்பதை f (2) = 0.9093 என்பதற்கும் f (3) = 0.1411 க்கும் நடுப்புள்ளியில் எடுத்தல் ஏற்பாகும், இது 0.5252 என்ற மதிப்பாகும்.

பொதுவாக, நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு தரவுப் புள்ளிகளை எடுக்கும், (x _a ,y _a ) மற்றும் (x _b ,y _b ) என வைத்துக்கொள்ளலாம், ஆகவே இடைக்கணிப்பு மதிப்பிடல் பின்வருவதால் தரப்படும்:

${\displaystyle y=y_{a}+(x-x_{a}){\frac {(y_{b}-y_{a})}{(x_{b}-x_{a})}}}$இந்த புள்ளியில் (x ,y )

நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு விரைவானது மற்றும் எளிதானது, ஆனால் மிகவும் சரியானது அல்ல. இன்னொரு குறைபாடு என்னவெனில், இடைக்கணிப்பு மதிப்பிடுவதென்பது புள்ளி x _k இல் வகையிடத்தக்கது அல்ல.

பின்வருகின்ற பிழைக் கணிப்பீடானது நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு மிகவும் சரியானதல்ல என்பதைக் காண்பிக்கும். இடைக்கணிப்பு செய்யவேண்டிய சார்பை g ஆல் குறித்து, x என்பது x _a க்கும் x _b க்குமிடையில் இருப்பதாகவும், g என்பது இருதடவை தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கது எனவும் வைத்துக்கொள்ளவும் ஆகவே நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு பிழை என்பது

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\mbox{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{y\in [x_{a},x_{b}]}|g''(y)|.}$

சொற்களில், பிழை என்பது தரவுப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தின் வர்க்கத்துக்கு நேர்விகிதமானது. அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பு மற்றும் வளைவு இடைக்கணிப்பு உள்ளடங்கலான பிற முறைகள் சிலவற்றின் பிழை (கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது), தரவுப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தின் உயர் அடுக்குகளுக்கு நேர்விகிதமானது. இந்த முறைகளும் கூட சீரான இடைக்கணிப்பு செய்தல்களை உருவாக்கும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்புடனான தரவின் வரைபு

அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பு என்பது நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பின் பொதுக்காரணியாக்கல் ஆகும். நேர்கோட்டு இடைக்கணித்தல் என்பது நேர்கோட்டு சார்பு என்பதைக் குறித்துக்கொள்க. இப்போது நாங்கள் இந்த இடைக்கணிப்பியை உயர் நிலை அடுக்குக்கோவை கொண்டு இடமாற்றுகிறோம்.

மேலே தரப்பட்ட சிக்கலையே மீண்டும் கவனத்தில் எடுக்கவும். பின்வருகின்ற ஆறாம் நிலை அடுக்குக்கோவையானது அனைத்து ஏழு புள்ளிகளூடாகவும் செல்கிறது:

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

x = 2.5 ஐப் பிரதியீடுசெய்தால், f (2.5) = 0.5965 என்பதைக் கண்டறிவோம்.

பொதுவாக, எங்களிடம் n தரவுப் புள்ளிகள் இருந்தால், சரியாக n −1 இலான நிலையின் ஒரு அடுக்குக்கோவை அனைத்து தரவுப் புள்ளிகளினூடாகச் செல்லும். இடைக்கணிப்பு பிழையானது தரவுப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான இடைவெளியின் அடுக்கு n க்கு நேர்விகிதமானது. மேலும், இடைக்கணிப்பி ஒரு அடுக்குக்கோவை, ஆகவே முடிவிலி வகையிடத்தக்கது. ஆகவே, அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பானது நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பின் அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்ப்பதைக் காண்கிறோம்.

இருந்தபோதும், அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பிலும் சில குறைபாடுகள் உள்ளன. இடைக்கணிப்பிடுதல் அடுக்குக்கோவையைக் கணக்கிடுதல் என்பது நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்புடன் ஒப்பிடும்போது கணிப்புரீதியாக செலவுகூடியது (கணிப்புச் சிக்கல்தன்மையைக் காண்க). மேலும், அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பு மிகவும் சரியானதாக இல்லாதிருக்கவும்கூடும், குறிப்பாக முடிவுப் புள்ளிகளில் (ருங்கேயின் தோற்றப்பாடு). வளைவு இடைக்கணிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இந்தக் குறைபாடுகளைத் தவிர்க்கலாம்.

பயன்படுத்தப்பட்ட வளைவு இடைக்கணிப்புடனான தரவின் வரைபு

நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பானது ஒவ்வொரு இடைவெளிகளுக்கும் நேர்கோட்டு சார்பைப் [x _k ,x _k+1 ] பயன்படுத்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. வளைவு இடைக்கணிப்பு ஒவ்வொரு இடைவெளிகளிலும் குறைந்த-நிலை அடுக்குக்கோவைகளைப் பயன்படுத்துகிறது, சீராக ஒன்றாகப் பொருந்துகின்ற விதத்தில் அடுக்குக்கோவை பாகங்களைத் தேர்வுசெய்கிறது. விளைவாக வருகின்ற சார்பு வளைவு எனப்படுகிறது.

உதாரணமாக, இயல்பான கனச்சதுர வளைவு பீஸ்வைஸ் கனசதுரம் மற்றும் இருதடவை தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கது . மேலும், இதன் இரண்டாம் சார்பியம் (டெரிவேட்டிவ்) முடிவு புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியம். மேலுள்ள அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிகளை இயல்பான கனச்சதுர வளைவானது இவ்வாறு இடைக்கணிப்பு செய்கிறது

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\mbox{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\\\end{cases}}}$

இந்த வகையில் f (2.5) = 0.5972 எனப் பெறுகிறோம்.

அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பைப் போல, வளைவு இடைக்கணிப்பு நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பைவிட சிறிய பிழையையே பெறுகிறது, மற்றும் இடைக்கணிப்பி சீரானது. இருந்தபோதும், அடுக்குக்கோவை இடைக்கணிப்பில் பயன்படுத்தப்படும் உயர்-நிலை அடுக்குக்கோவைகளைவிட இடைக்கணிப்பியை மதிப்பிடுவது எளிதானது. இதுவும்கூட ருங்கேயின் தோற்றப்பாட்டினால் பாதிக்கப்படாது.

காஜியன் செயலாக்கம் என்பது சக்திவாய்ந்த நேர்கோடு அல்லாத இடைக்கணிப்புக் கருவியாகும். பிரபலமான பல இடைக்கணிப்பு கருவிகள் குறிப்பிட்ட காஜியன் செயலாக்கங்களுக்கு உண்மையில் நிகரானவை. காஜியன் செயலாக்கங்கள் தரப்பட்ட தரவுப் புள்ளிகளூடாக சரியாகச் செல்கின்ற இடைக்கணிப்பி ஒன்றைப் பொருத்துவதற்கு மட்டுமன்றி பின்செயலுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், அதாவது பொய்யான தரவினூடாக ஒரு வளைவைப் பொருத்துவதற்கும். நிலபுள்ளியியல் சமூகத்தில் காஜியன் செயலாக்க பின்செயல் கிரிகிங் என்றும் கூறப்படும்.

இடைக்கணிப்பின் பிற வடிங்களை இடைக்கணிப்பியின் வேறுபட்ட வகுப்பை தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் கட்டமைக்கலாம். உதாரணமாக, அறிவார்ந்த இடைக்கணிப்பு என்பது அறிவார்ந்த சார்பினால் செய்யப்படும் இடைக்கணிப்பு ஆகும், மற்றும் திரிகோணக் கணித இடைக்கணிப்பு என்பது திரிகோணக் கணித அடுக்குக்கோவைகளாலான இடைக்கணிப்பு ஆகும். வேவ்லெட்டுகளைப் பயன்படுத்துவது இன்னொரு சாத்தியமாகும்.

தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலி என்றால் வைட்டேக்கர்–ஷன்னன் இடைக்கணிப்பு வாய்ப்பாடு பயன்படுத்தப்படலாம்.

பல்மாறி இடைக்கணிப்பு என்பது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் சார்புகளின் இடைக்கணிப்பு ஆகும். இரு பரிமாணங்களில் இருநேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு மற்றும் இருகனசதுர இடைக்கணிப்பு ஆகிய முறைகளும் முப்பரிமாணங்களில் மூன்று நேர்கோட்டு இடைக்கணிப்பு முறையும் உள்ளடங்கும்.

சிலவேளைகளில், சில புள்ளிகளில் நாங்கள் இடைக்கணிப்பு செய்யவிரும்பும் மதிப்பை மட்டுமன்றி, அதன் சார்பியமும் எங்களுக்குத் தெரியும். இது ஹெர்மைட் இடைக்கணிப்பு சிக்கல்களுக்கு வழிவகுக்கிறது.

டிஜிட்டல் ஆடியோ சமிக்ஞை செயலாக்கக் களத்தில், இடைக்கணிப்பு என்ற சொல் சிறிதளவு வித்தியாசமான வழியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக, ஒரு சிக்கலை சில மாதிரி எடுத்தல் வீதத்திலிருந்து உயர் மாதிரி எடுத்தல் வீதத்துக்கு மாற்றுவதற்கு வடிகட்டலைப் பயன்படுத்தும் செயலை இது குறிக்கிறது (அதாவது, கணத்தாக்க மறுமொழி ஊடாக சுருளல், FIR அல்லது IIR இரண்டில் ஒன்று). இந்தச் சந்தர்ப்பத்தில், குறிப்பிட்ட அர்த்தமும் ஒரு இடைக்கணிப்பு முறைக்கு வேண்டிய குறிப்பிட்ட தரமும் இருக்கும், அசல் மாதிரி எடுத்தல் வீதத்துக்கு வேண்டிய கற்றைஅகலத்துக்கு மேலான அசல் சமிக்ஞையின் எந்தவொரு படமும் அல்லாமல், அசல் சமிக்ஞையை மட்டும் கடத்தும் கணத்தாக்க மறுமொழியை இது குறிப்பாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த வேண்டும். இதுகுறித்த சிறந்த, முன்னதான மற்றும் சீரான அடிப்படை விவாதத்தை ரபினர் மற்றும் குராச்சிரேயின் புத்தகமான "மல்டிரேட் டிஜிட்டல் சிக்னல் புராசஸிங்" என்பதில் காணலாம்.

தெரிந்த தரவுப் புள்ளிகளின் எல்லைக்கு வெளியேயுள்ள தரவுப் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம் எனில் புற இடுகை என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வளைக்கோட்டுப் பொருத்த சிக்கல்களில், இடைக்கணிப்பியானது சரியாக தரவுப் புள்ளிகளிடையே செல்லவேண்டும் என்பது தளர்த்தப்படுவது ஒரு கட்டுப்பாடாகும். தரவுப் புள்ளிகள் முடிந்தவரை நெருக்கமாக அணுகினால் மட்டும் போதுமானது (சில பிற கட்டுப்பாடுகளுக்குள்). சாத்தியமான இடைக்கணிப்பிகள் அளவுருவாக்கப்படுதல் மற்றும் பிழையை அளப்பதற்காக சில வழிகளைக் கொண்டிருத்தல் என்பன இதற்கு அவசியமாகும் மிகவும் எளிமையான முறையில் இது குறை சதுர தோராயத்துக்கு வழிவகுக்கும்.

தோராயக் கோட்பாடு என்பது தரப்பட்ட ஒரு சார்புக்கு இன்னொரு சார்பு மூலமாக, சில முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட வகையிலிருந்து மிகச்சிறந்த தோராயத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடித்தல் மற்றும் இந்த தோராயம் எவ்வளவு நல்லது என்பவற்றை ஆராய்கிறது. தெரியாத சார்பை இடைக்கணிப்பி எவ்வளவு சிறப்பாக தோராயமாக்கக் கூடியது என்பது பற்றிய எல்லையை இது தெளிவாக வழங்கும்.

• டேவிட் கிட்னர், மார்க் டொரே மற்றும் டெரெக் ஸ்மித்(1999). வட்'ஸ் த பாயிண்ட்? இண்டர்போலேஷன் அண்ட் எக்ட்ராபோலேஷன் வித் அ ரெகுலர் கிரிட் DEM. IV இண்டர்நேஷனல் கன்ஃபரன்ஸ் ஆன் ஜியோகம்பியூட்டேஷன், ஃபிரெட்ரிக்ஸ்பர்க், VA, USA.
• [6] அத்தியாயம் 6.
• Schatzman, Michelle (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction. Clarendon Press, Oxford. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-19-850279-6. அத்தியாயங்கள் 4 மற்றும் 6.
• Meijering, Erik (2002), "A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing", Proceedings of the IEEE, 90 (3): 319–342, doi:10.1109/5.993400.

• டாட்பிளேசர் ஆப்லெட்: ஆப்லெட் ஷோவிங் வேரியஸ் இண்டர்போலேஷன் மெதட்ஸ், வித் மூவபிள் பாயிண்ட்ஸ்