ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

${\displaystyle m,n}$ என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,

${\displaystyle \varphi (m)\times \varphi (n)=\varphi (m\times n).}$

எ.கா.: ${\displaystyle \varphi (4)\times \varphi (15)=2\times 8=16=\varphi (60)}$

${\displaystyle p}$ ஒரு பகா எண்ணாகவும், ${\displaystyle k}$ ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், ${\displaystyle p^{k}}$ உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் ${\displaystyle p}$ -இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் ${\displaystyle p^{k}}$ ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : ${\displaystyle 1.p,2.p,3.p,...,p^{k-1}.p}$ . இதனால்,

${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

எ.கா.: ${\displaystyle \varphi (81)=\varphi (3^{4})=3^{4}-3^{3}=3^{4}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=54}$

${\displaystyle n=\prod _{p|n}p^{k_{p}}}$

${\displaystyle \varphi (n)=\prod _{p|n}p^{k_{p}-1}(p-1)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

${\displaystyle \varphi (60)=\varphi (5.2^{2}.3)=60.\left(1-{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=16}$