ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)

${\displaystyle A,B}$ இரண்டும் ${\displaystyle m\times n}$ வரிசை அணிகள் எனில் அவற்றின் ஆடமார்டு பெருக்கல் அணியான ${\displaystyle A\circ B}$ ஒரு ${\displaystyle m\times n}$ வரிசை அணியாக இருக்கும். அதன் உறுப்புகள் கீழுள்ளவையாக இருக்கும்:

${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$ .

${\displaystyle A}$ இன் வரிசை ${\displaystyle m\times n}$ , ${\displaystyle B}$ இன் வரிசை ${\displaystyle p\times q}$ ஆகவும், ${\displaystyle m\not =p}$ ,${\displaystyle n\not =q}$ இரண்டும் உண்மையாகவோ அல்லது ஏதேனுமொன்று உண்மையாகவோ இருந்தால் ${\displaystyle A,B}$ அணிகளின் ஆடமார்டு பெருக்கலை (${\displaystyle A\circ B}$ ) வரையறுக்க முடியாது.

3×3 வரிசை அணிகள் A , B இன் ஆடமார்டு பெருக்கல்:

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}&\mathrm {a} _{12}&\mathrm {a} _{13}\\\mathrm {a} _{21}&\mathrm {a} _{22}&\mathrm {a} _{23}\\\mathrm {a} _{31}&\mathrm {a} _{32}&\mathrm {a} _{33}\end{array}}\right)}$

${\displaystyle B=\left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}&\mathrm {a} _{12}&\mathrm {a} _{13}\\\mathrm {a} _{21}&\mathrm {a} _{22}&\mathrm {a} _{23}\\\mathrm {a} _{31}&\mathrm {a} _{32}&\mathrm {a} _{33}\end{array}}\right)}$

${\displaystyle A\circ B=\left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}&\mathrm {a} _{12}&\mathrm {a} _{13}\\\mathrm {a} _{21}&\mathrm {a} _{22}&\mathrm {a} _{23}\\\mathrm {a} _{31}&\mathrm {a} _{32}&\mathrm {a} _{33}\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{ccc}\mathrm {b} _{11}&\mathrm {b} _{12}&\mathrm {b} _{13}\\\mathrm {b} _{21}&\mathrm {b} _{22}&\mathrm {b} _{23}\\\mathrm {b} _{31}&\mathrm {b} _{32}&\mathrm {b} _{33}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}\,\mathrm {b} _{11}&\mathrm {a} _{12}\,\mathrm {b} _{12}&\mathrm {a} _{13}\,\mathrm {b} _{13}\\\mathrm {a} _{21}\,\mathrm {b} _{21}&\mathrm {a} _{22}\,\mathrm {b} _{22}&\mathrm {a} _{23}\,\mathrm {b} _{23}\\\mathrm {a} _{31}\,\mathrm {b} _{31}&\mathrm {a} _{32}\,\mathrm {b} _{32}&\mathrm {a} _{33}\,\mathrm {b} _{33}\end{array}}\right)}$

• ஆடமார்டு பெருக்கல் பரிமாற்றுத்தன்மை, சேர்ப்புப் பண்பு, கூட்டல் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பு உடையது:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\circ B&=B\circ A,\\A\circ (B\circ C)&=(A\circ B)\circ C,\\A\circ (B+C)&=A\circ B+A\circ C.\end{aligned}}}$

• ஆடமார்டு பெருக்கலின் கீழ், இரு m x n அணிகளின் முற்றொருமை அணியானது அனைத்து உறுப்புகளும் 1 ஆகவுள்ள m x n அணியாக இருக்கும். இவ்வணியானது, வழமையான அணிப்பெருக்கலின் கீழ் அமையும் முற்றொருமை அணியிலிருந்து வேறுபட்டதாகும்.
• அனைத்து உறுப்புகளும் பூச்சியமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு அணிக்கு ஆடமார்டு பெருக்கலின் கீழ் நேர்மாறு இருக்கும்.[2]
• ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ இரு திசையன்கள்; ${\displaystyle x}$ திசையனை முதன்மை மூலைவிட்டமாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணி ${\displaystyle D_{x},}$ ${\displaystyle y}$ திசையனை முதன்மை மூலைவிட்டமாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணி ${\displaystyle D_{y}}$ எனில் பின்வரும் முடிவு உண்மையாகும்:[3]

${\displaystyle x^{*}(A\circ B)y=\mathrm {tr} \left(D_{x}^{*}AD_{y}B^{T}\right)}$ , இதில் ${\displaystyle x^{*}}$ என்பது ${\displaystyle x}$ இன் இடமாற்று இணையணி ஆகும்.

• ${\displaystyle \sum _{i}(A\circ B)_{i,j}=\left(B^{T}A\right)_{j,j}.}$ [4]

${\displaystyle \sum _{j}(A\circ B)_{i,j}=\left(AB^{T}\right)_{i,i}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {rank} (A\circ B)\leq \operatorname {rank} (A)\operatorname {rank} (B)}$