அறுதி மதிப்புத் தேற்றம்

கீழே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து இத் தேற்றத்திற்கு உட்படும் சார்புகளின் ஆட்களங்கள் வரம்புடையவையாகவும் மூடியவையாகவும் இருக்க வேண்டியதின் அவசியத்தைப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

1. [0, ∞) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ƒ(x) = x , மேற்புறம் வரம்புடையதாக இல்லை.
2. [0, ∞) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ƒ(x) = x / (1 + x) வரம்புடையது. ஆனால் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பு  1 ஐ அடைவதில்லை.
3. (0, 1] இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ƒ(x) = 1 / x மேற்புறம் வரம்புடையதாக இல்லை.
4. (0, 1] இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ƒ(x) = 1 – x வரம்புடையது. ஆனால் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பு  1 ஐ அடைவதில்லை.

ƒ(0) = 0 என வரையறுப்பதன் மூலம் அறுதி மதிப்புத் தேற்றம், வரம்புடைமைத் தேற்றம் ஆகிய இரு தேற்றங்களுக்கும், இடைவெளி [a, b] இல் தொடர்ச்சித்தன்மை தேவை என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.

சார்பு f அரைத் தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் வரம்புடைமைத் தேற்றம் மற்றும் அறுதி மதிப்புத் தேற்றம் இரண்டிலும் அதற்கேற்ற பாதிப்பகுதி உண்மையானதாகும். நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டிலிருந்து –∞ அல்லது +∞ மதிப்பைத் தேவைக்கேற்பச் சேர்த்துக் கொள்ளலாம்.

தேற்றம்:

சார்பு f : [a,b] → [–∞,∞) மேல் அரைத் தொடர்ச்சியுடையது எனில்,

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b]\,}$ என்றவாறு இருக்கும். அப்போது சார்பு f மேற்புறம் வரம்புடையதாக, குறைந்தபட்ச மேல்வரம்புடன் இருக்கும்.

• Keisler, H. Jerome (1986). Elementary calculus. An infinitesimal approach. Boston, Massachusetts: Prindle, Weber & Schmidt. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-87150-911-3. http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.

• A Proof for extreme value theorem at cut-the-knot
• Boundedness Theorem பிளாநெட்மேத்தில்
• Extreme Value Theorem பிளாநெட்மேத்தில்
• Extreme Value Theorem by Jacqueline Wandzura with additional contributions by Stephen Wandzura, the Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Extreme Value Theorem", MathWorld.