ஃபிபனாச்சி எண்கள்

${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,....}$

${\displaystyle F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

இப்படிப் போகிறது இத் தொடர்.

இத்தொடரின் விதி: ${\displaystyle F_{1}=1,F_{2}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},n>2.}$

படிமத்தைப்பார். ஒரு மரமும் அதன் கிளைகளும் காண்பிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு 'பழைய' கிளையிலும் (மரத்தையும் சேர்த்துத் தான்) ஓராண்டுக் கொருமுறை புதுக் கிளை முளைக்கிறது. இப்படி முளைக்கும் ஒவ்வொரு புதுக்கிளையும் அடுத்த ஆண்டும் புதுக் கிளையாகவே இருந்து அதற்கு அடுத்த ஆண்டிலிருந்து பழைய கியாகப் பங்கு பெறுகிறது. ${\displaystyle n}$ ஆண்டுகளுக்குப்பிறகு உள்ள கிளைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle F_{n}.}$ ${\displaystyle F_{7}=13.....F_{22}=28657}$… .

${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dotsb }}}}}}}}}$

இத் தொடரும் பின்னத்தின் மதிப்பை ${\displaystyle x}$ என்று கொண்டால் நமக்குக் கிடைக்கும் சமன்பாடு:

${\displaystyle x=1+{\frac {1}{x}};}$ அதாவது ${\displaystyle x^{2}-x=1}$.

இதனுடைய (நேர்மத) தீர்வு ${\displaystyle x={\frac {1+\surd {5}}{2}}=1.618....}$ . இதற்குக் குறியீடு: ${\displaystyle \varphi }$

இத்தொடரும் பின்னத்தின் ஒருங்குகள்:

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},{\frac {21}{13}},{\frac {34}{21}},...}$

இவ்வொருங்குகளின் விகுதிகள் தான் ஃபிபனாச்சி தொடர் எண்கள்.

இவ்வொருங்குகள் மிக மிக மெதுவாகத்தான் அதன் எல்லையை அடைகின்றன. எல்லாத்தொடரும் பின்னங்களிலும் இதுதான் மிக மெதுவாக எல்லையை நோக்கிச் செல்லும் ஒருங்குகளையுடையது. ஒரு ஒப்பிடுதலுக்கு ${\displaystyle \surd {2}}$ வின் தொடரும் பின்னத்தைப் பார்த்தோமானால்,

${\displaystyle \surd {2}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\dotsb }}}}}}}$

${\displaystyle \surd {2}}$ வின் 6-ஆவது ஒருங்கு ${\displaystyle {\frac {99}{70}}}$ க்கும் ${\displaystyle \surd {2}}$ க்கும் உள்ள வித்தியாசம் ${\displaystyle .000072}$;

${\displaystyle \varphi }$ இன் 6-ஆவது ஒருங்கு ${\displaystyle {\frac {13}{8}}}$ க்கும் ${\displaystyle \varphi }$ க்கும் உள்ள வித்தியாசம் ${\displaystyle .0070}$.

ஆக, ${\displaystyle \varphi }$ இன் தொடரும் பின்னத்தின் ஒருங்கும் வேகம் நூறு பங்கு குறைவு!.

பாஸ்கல் முக்கோணத்திலிருந்து ஒவ்வொரு நிரை (Row) யாகப் படித்தால் ஒவ்வொரு அடுக்குக்குகந்த ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் கிடைக்கும் என்பது கணித உலகில் எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே. பாஸ்கலுடைய(1623–1662) காலத்திற்கு 200 ஆண்டுகளுக்குப்பிறகு வந்த லூகஸ் 1872 இல் அதே பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் ஏறுமுக மூலைவிட்டங்களின் உறுப்புகளைக் கூட்டினால் ஃபிபனாச்சி எண்களின் தொடர் கிடைப்பதை கவனித்தார். இதைத் தான் படிமம் காட்டுகிறது. இதில் விந்தை என்னவென்றால் 200 ஆண்டுகள் இதை ஒருவரும் கவனித்ததாகத் தெரியவில்லை என்பதுதான்.

கணிதம் சம்பந்தப்பட்டவரை இதில் ஆச்சரியப்படத் தக்கபடி ஒன்றுமில்லை. ஏனென்றால், படிமத்தில் காட்டியபடி

0 + 1 = 1 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி))

1 + 5 = 6 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

4 + 6 = 10 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

3 + 1 = 4 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

இவைகளை நிரல் நிரலாகக்கூட்டினால்,

8 + 13 = 21 (ஃபிபனாச்சி தொடரின் விதிப்படி)

விக்கிமேற்கோள் பகுதியில், இது தொடர்புடையவைகளைக் காண்க: ஃபிபனாச்சி எண்கள்

விக்கிநூல்களில் மேலதிக மேலதிகவிவரங்களுள்ளன: Fibonacci number program

• Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
• Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
• Fibonacci Sequence - In Our Time பி.பி.சி.யில். (listen now)
• Hazewinkel, Michiel, தொகுப்பாசிரியர். (2001), "Fibonacci numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/f040020
• வார்ப்புரு:SloanesRef