0.999...

கணிதத்தில் 0.999... (சில நேரங்களில் ${\displaystyle 0.{\bar {9}}}$ அல்லது ${\displaystyle 0.{\dot {9}}}$) என்று குறிக்கப்படும் தொடரும் பதின்பகுப்பு எண் மிகத்துல்லியமாக 1 என்ற எண்ணின் மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். இது ஒரு தோராயமான மதிப்பு அல்ல துல்லியமான மதிப்பு என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. அதாவது, "0.999…" என்ற எண்ணும் "1" என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படுவதும் ஒரே எண்ணே. இந்த முற்றொருமைக்கு (identity) பல தரப்பட்ட மக்களுக்காக, பல்வேறு சூழல்களில், பல்வேறு தற்கோள்களுடன் நிறுவல்கள் தரப்பட்டுள்ளன.

இந்த ஒப்புமை (equality) சில நாடுகளில் பல ஆண்டுகளாக பாடத்திட்டத்தில் பயிற்றுவிக்கப்பட்டு வருகிறது. கணிதக் கல்வி பயிற்றுவித்தலைப் பற்றி ஆய்பவர்கள் இவ்வொப்புமையை மாணவர்கள் எவ்வாறு உள்வாங்குகின்றனர் என்பதைப் பற்றிய ஆய்வுகளை நடத்தினர். அவர்கள் கண்டவரை மாணவர்கள் பொதுவாக இதை ஏற்றுக் கொள்வதில்லை. அவர்களின் எண்ணத்தில் ஒன்று என்ற எண்ணிற்கும் இந்த எண்ணிற்கும் இடையே வெகுநுண்ணளவு மதிப்புக்கள் இருக்கும் அல்லது எண் கணக்கில் பிழை இருக்கும் என்று கருதுகின்றனர். அல்லது கணித எல்லை என்ற கருத்துருவை அவர்கள் சரிவர புரிந்திராமையாலோ 0.999... என்ற எண்ணிற்கு எவ்வாறாயினும் ஒரு கடைசி இலக்கம் "9" என்று இருக்க வேண்டும் என்ற பிழையான கருத்தினாலோ அவர்களுக்கு இவ்வொப்புமையை ஏற்றுக் கொள்ள முடிவதில்லை. ஆனால் மெய்யெண்களை விகிதமுறு எண்களைக் (rational numbers) கொண்டு உருவாக்கும்பொழுது எளிதில் இவ்வொப்புமையை நிறுவ முடியும்.

முரணொத்த இம்மெய்மை பதின்பகுப்பு எண் முறைமையில் மட்டுமே ஏற்படுவதல்ல. வேறு சில

<math>

\begin{align} x &= 0.999\ldots \\ 10 x &= 9.999\ldots \\ 10 x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\ 9 x &= 9